Oldtidens egyptiske matematikk

Oldtidens egyptiske matematikk er matematikk som ble brukt og utviklet i oldtidens Egypt, fra om lag 3000 f.Kr fram til rundt 300 f.Kr. Dette omfatter perioden fra det gamle riket og fram til det ptolemeiske kongedømmet.

Moskva-papyrusen som viser et matematisk problem i egyptisk matematikk.

Egyptisk matematikk besto i hovedsak av praktisk problemløsning knyttet til dagliglivet, med tallregning og geometri. Det er omdiskutert i hvor stor grad egypterne videreutviklet matematisk kunnskap. Selv om egyptisk matematikk kan vise til enkelte resultater som kanskje ikke var kjent av babylonerne, er det en vanlig oppfatning at egyptisk matematikk ikke nådde like langt som den babylonske. Greske historikere forteller at geometrien oppsto i Egypt, antagelig fra landmåling, og grekerne fikk overført kunnskap derfra.

Historisk oversikt

Narmers stridskøllehode

De eldste egyptiske arkeologiske funn som viser bruk av matematikk kan dateres tilbake til minst 3000 f.Kr. I graven U-j i oldtidsbyen Abydos ble det funnet merkelapper av elfenbein, og en del av disse har inskripsjoner med nummer. Disse kan ha blitt benyttet som merkelapper på gravgods.

Et dekorert hode til en stridskølle fra omkring 3100 f.Kr. viser bruk av et titallssystem. Steinhodet, kalt Narmers stridskøllehode etter den egyptiske faraoen Narmer, lister opp et stort krigstrofé bestående av 400 000 okser, 1 422 000 geiter og 120 000 fanger.

Fra det gamle riket (ca 2690–2180 f.Kr.) er det få spor av bruk av matematikk. En inskripsjon på en murvegg nær en mastaba i Meidum gir retningslinjer for mastabaens helning. Sammen med inskripsjonen er en figur som indikerer bruk av det gamle lengdemålet kubit. Flere linjer er tegnet adskilt med dette lengdemålet. En kubit svarer omtrent til 52 cm.

Egypterne utviklet tidlig en kalender, basert på tolv måneder med 30 dager i hver, pluss fem ekstra festdager. Bygging av pyramidene viser også at de hadde en høyt utviklet ingeniørkunst, der oppmåling var grunnleggende. Hypotesen om at omkretsen av Keopspyramiden svarer til $2\pi$ ganger høyden kan likevel ikke være riktig, ut fra det en ellers kjenner om egyptisk matematikk og egypternes kjennskap til tallet $\pi$. Forholdet i Keopspyramiden er svært nær 44/7. Dette er lik to ganger 22/7, et tall som i dag ofte brukes som tilnærming for $\pi$, men som ikke var kjent i oldtidens Egypt.

Dagens kunnskap om egyptisk matematikk kommer hovedsakelig fra funn av papyrusruller. Bare et fåtall av rullene som er funnet, omhandler matematiske emner. De to viktigste kildene er Moskva-papyrusen og Rhind-papyrusen. Innholdet i alle rullene har form av eksempelsamlinger, med problemer og tilhørende løsninger. Problemene er som regel praktiske problem fra dagliglivet, knyttet for eksempel til regnskap, landmåling, ølbrygging og brødbaking. Noen oppgaver har preg av å være laget mer for sin egen del, kanskje som underholdning. De fleste problemene kan karakteriseres som aritmetikk eller «tallregning», men algebraiske og geometriske oppgaver opptrer også. Egypterne var ikke alltid nøye med å skille mellom hva som var eksakt matematikk og hva som bare var tilnærminger. Innholdet i den egyptiske matematikken ser også ut til å ha endret seg lite i løpet av den lange oldtidshistorien.

En vanlig oppfatning er at egyptisk matematikk ikke nådde like langt som den babylonske, spesielt ikke innenfor algebra. Om de utviklet ny geometrisk kunnskap er omdiskutert. Oldtidens grekere roste imidlertid egypternes kunnskap i geometri, og både Tales fra Milet og Pytagoras skal ha lært geometri på reise til Egypt. Historikeren Herodot (484-425 f.Kr.) forteller at geometrien oppsto fra egyptisk landmåling. Faraoen Ramses II, som levde omkring 1250 f.Kr., skal ha fordelt land i rektangulære områder, og eierne måtte etterpå betale skatt for bruken. Oversvømmelser i Nilen kunne redusere det effektive arealet, og dette krevde ny oppmåling og ny utregning av skatten. Denne historien er gjenfortalt av flere andre greske historikere fra antikken. Aristoteles derimot hevdet at matematikken i Egypt oppsto fordi presteskapet hadde tid og overskudd. Demokrit omtaler greske geometer som «tau-strekkere», en referanse til landmåling og bruk av tau for å måle og lage rette vinkler.

Kilder

Flere inskripsjoner på vegger og i gravkammer vitner om tall brukt til telling og til måling, men disse inskripsjonene kan ikke gi detaljert kunnskap om mer avansert matematikk. Bare et lite fåtall skriftlige kilder som omhandler matematikk er bevart fra Egypt. De følgende kildene er fra mellomriket (omkring 2050-1650 f.Kr.) og fra andre mellomepoke (omkring 1650-1550 f.Kr.).

• Akhmim-tavlen, En tretavle datert til rundt 2000 f.Kr.
• Reisner-papyrusene. Fire papyrusruller fra omkring 1900 f.Kr.
• Moskva-papyrusen. Fra omkring 1850 f.Kr.
• Den egyptiske matematiske lærrullen. Fra omkring 1700 f.Kr.
• Lahun-papyrusen. Fra andre halvdel av det tolvte dynasti.
• Berlin-papyrus 6619. Fra andre halvdel av det tolvte dynasti eller fra det trettende dynasti.
• Rhind-papyrusen. Fra omkring 1550 f.Kr.

Også fra det nye riket er det gjort et lite antall funn av matematiske tekster.

Tall finnes gjengitt i tre ulike typer skriftsystem, hieroglyfer, hieratisk skrift og i demotisk skrift. Hieroglyfer finnes for det meste på vegger og monumenter. Hieratisk skrift ble utviklet fra hieroglyfer, som en tilpasning til skriving på papyrus. Demotisk skrift utviklet seg rundt 800 f.Kr. fra hieratisk, ved sammentrekninger og forenklinger. De viktigste egyptiske kildene er skrevet i hieratisk skrift.

Tallsystem og talltegn

Egyptiske kilder viser i hovedsak bruk av et tallsystem basert på grunntallet 10, men historikere mener også å ha funnet spor av system basert på grunntall 5, 12, 20 og 60. Både hieroglyfer og hieratisk skrift brukte egne tegn for tier-potenser opp til ti millioner: 10, 100, 1000, ...

Hieroglyfer

I hieroglyfisk skrift var tallsystemet ikke et posisjonssystem, men et additivt system: Et tall ble gjengitt som summen av flere tegn. Tallene fra 1 til 9 var avbildet med et tilsvarende antall rette streker. Den følgende tabellen viser de grunnleggende hieroglyfene for tall.

Hieroglyfer for tall

1	10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000

Mange ulike varianter av disse tegnene forekommer. Symbolene for 1 og 10 er for eksempel også brukt med horisontal orientering. Tolking av tegnet for tallet 10 varierer. Hundre kan muligens tolkes som en papyrusrull. Tallet tusen er representert ved en lotusblomst, og titusen er symbolisert med en bøyd finger. Tegnet for 100 000 er tolket både som en slags fisk og som en fugl. Tallet for en million ble representert ved en knelende skikkelse, og dette kan framstille en forbauset person eller være et symbol for guden for uendelig, Heh. Talltegnene viser at egypterne kunne operere med svært store tall.

Hvert symbol ble gjentatt så mange ganger som nødvendig. Ved mer enn fire gjentakelser ble symbolene plassert over hverandre. Symbolet for det høyeste tallet ble vanligvis plassert lengst til venstre, men det finnes også eksempler på andre organiseringer.

$\qquad =\ 1000000+20000+2000+300+10+1\ =\ 1022311$

Etter 1600-2000 f.Kr. tok en også i bruk multiplikasjon til å uttrykke tall, slik at 120 000 kunne skrives som symbolene for 120 plassert foran en lotusblomst, symbolet for tusen.

En stambrøk ble markert ved å sette et tegn likt en pute over tallet i nevneren:

$={\frac {1}{3}}$

Dette «pute-tegnet» ble vanligvis brukt for bokstaven R. Egne tegn ble brukte til et fåtall spesielle brøker:

$={\frac {1}{2}}$

$={\frac {2}{3}}$

$={\frac {3}{4}}$

Ulike deler av Horus’ øye ble brukt som tegn for brøkene $1/2^{p}$, for $\ p=1,..,6$.

Hieratisk skrift

De hieratiske tegnene er en videreutvikling fra hieroglyfene, med flere symboler gjerne trukket sammen til ett. Hieratisk skrift kan variere fra skriver til skriver. Skriftretningen var fra høyre mot venstre, også for tall. De hieratiske symbolene for 1, 10 og 100 er like de tilsvarende hieroglyfene. Imidlertid er den repetitive bruken av talltegn nå erstattet av egne tegn: Isteden for å skrive syv streker for tallet 7, har dette nå fått et eget symbol. En trengte dermed færre symbol for et tall enn det en gjorde med hieroglyfer. Dette prinsippet, innført for over fire tusen år siden, innebærer et viktig utviklingssteg mot et moderne tallsystem.

I Rhind-papyrusen er stambrøker skrevet med en prikk over nevneren, bortsett fra de spesielle brøkene med egne tegn. Addisjon blir markert med to føtter som går framover i skriftretningen, mens for subtraksjon går føttene motsatt vei. I Moskva-papyrusen blir to føtter brukt for å symbolisere et kvadrat.

Aritmetikk

Multiplikasjon

Egypterne utførte multiplikasjon på en måte som kan karakteriseres som binær aritmetikk. Multiplikasjonen ble gjennomført med suksessive fordoblinger, avsluttet med en summasjon. Anta for eksempel at en ønsket å finne produktet 14 × 18. En starter med suksessive fordoblinger av tallet 18:

14 × 18

1	18
2	36
4	72
8	144

Kolonnen til venstre er stigende potenser av 2, mindre eller lik den første faktoren 14. For å danne faktoren 14 må en summere de tre tallene i første kolonne der radene er merket med en grønn hake. For å finne produktet 14 × 18 må en summere tallene i andre kolonne på samme måte. Dette svarer til å regne ut

$14\times 18=(2^{1}+2^{2}+2^{3})\times 18=36+72+144=252\ .$

Divisjon

Divisjon ble utført på en tilsvarende måte som multiplikasjon, med en direkte omvending av prosessen. Anta at en skal utføre divisjonen 468 : 18.

468 : 18

1	18
2	36
4	72
8	144
16	288

Tallene i høyre kolonne er mindre eller lik dividenden 468. Ved å subtrahere fra dividenden suksessivt tall i fra den høyre kolonnen, og merke de tallene en bruker med en grønn hake, finner en

$468:18=(288+144+36):18=16+8+2=26$

I dette enkle eksempelet går divisjonen opp, men egypterne kunne også bruke en tabell der venstre kolonne inneholdt stambrøker. På den måten kunne en finne en løsning for en vilkårlige divisjon. Prosessen ble imidlertid avbrutt dersom svaret viste seg å inneholde for mange stambrøker, og løsningen var da bare tilnærmet rett.

Problem 65 i Rhind-papyrusen går ut på å dele 100 brød mellom ti mann. Tre personer skal imidlertid bli gitt dobbel rasjon. Papyrusen gir en eksakt løsning på problemet:

$100:(10+3)=100:13=7+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{39}}$

Brøkregning

Utdypende artikkel: Egyptisk brøk

Brøkregning i Egypt var begrenset til bruk av stambrøker samt den spesielle brøken 2/3. En generell brøk ble skrevet som en sum av stambrøker, for eksempel

${\frac {37}{44}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{11}}\ .$

En slik oppdeling i stambrøker kan gjøres på mange måter, og hva som lå bak egypternes valg av oppdeling, er ikke kjent. Rhind-papyrusen starter med å gi en tabell over en oppdeling for brøkene $2/n$ for alle oddetall $n$ mellom 5 og 101.

For å beregne 2/3 av brøken 1/5, bruker Rhind-papyrusen en metode basert på formelen

${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}\ ,$

og svaret er gitt som

${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}\ .$

Dette kan indikere at egypterne verdsatte generelle regler for problemløsning.

Også multiplikasjon av ulike brøk-kombinasjoner ble utført. Problem 13 i Rhind-papyrusen gjennomfører den følgende multiplikasjonen:

$({\frac {1}{16}}+{\frac {1}{112}})\times (1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})={\frac {1}{8}}\ .$

Algebra

Enkelte problem i de egyptiske papyrusrullene kan karakteriseres som algebraiske, i det de svarer til løsning av lineære ligninger med gitte koeffisienter. Dette er ligninger på formen

${\begin{alignedat}{2}a+ax&=b\\x+ax+bx&=c\ .\end{alignedat}}$

Egypterne kalte den ukjente for «aha», på norsk «haug». I problem 34 i Rhind-papyrusen er oppgaven å finne «aha slik at en aha pluss en halv aha pluss en fjerdedels aha er lik 10».

Metoden som ble brukt for løsning kalles i dag regula falsi, også omtalt som «det gale talls metode». En gjetter først på en løsning, som høyst sannsynlig vil være et galt svar. Gjettingen blir brukt i den ene siden av ligningen, og sammenligning mellom de to sidene i ligningen blir så brukt til å justere svaret. Anta for eksempel at en vil løse ligningen

$x+{\frac {1}{4}}x=15$

En første gjetning på svaret kan være $x=4$. Innsatt i venstre side gir dette at denne siden blir lik 5, og gjetningen er feil. Forholdet mellom høyre side 15 og utregningen av venstre side 5 er lik 15 : 5 = 3. Gjetningen må altså multipliseres med 3, og dette gir det rette svaret 12. Metoden fungerer fordi ligningen er lineær, men den avhenger av et godt valg for den feilaktige løsningen.

Geometri

Areal

Både Moskva-papyrusen og Rhind-papyrusen inkluderer problem knyttet til utregning av areal av trekanter, rektangler og sirkler. Arealet av et rektangel er korrekt gitt som produktet av de to sidelengdene. For en trekant bruker Rhind-papyrusen formelen ${\frac {1}{2}}ab$, der $a$ og $b$ er sidelengder. Dette er rett for en rettvinklet trekant, men figuren i papyrusen har vært tolket både som å være rettviklet og som å være likesidet. For en likesidet trekant er formelen bare tilnærmet riktig, men feilen for eksempelet i papyrusen er liten.

For et trapes bruker Rhind-papyrusen formelen ${\frac {1}{2}}(a+b)c$, med $a$ og $b$ lik lengdene av de parallelle sidene. Papyrusen gir $c$ som en sidelengde, så formelen er rett dersom denne siden også er en høyde i trapeset. Det er mulig at det var tenkt at trapeset skulle ha en rett vinkel, men det har også vært foreslått at trapeset var tenkt med to like ikke-parallelle sider. I det siste tilfelle er formelen bare tilnærmet rett.

I problem 50 i Rhind-papyrusen er det antatt at en sirkel med diameter 9 enheter har samme areal som et kvadrat med sidelengde 8 enheter. Sammenligner en dette med den moderne formelen $A=\pi R^{2}$, finner en at skribenten bruker følgende uttrykk for $\pi$:

$4(1-{\frac {1}{9}})^{2}\approx 3,1605$

Dette gir en feil på under 1 % i utregning av areal. Det er mulig at egypterne tilnærmet sirkelarealet med et oktogon, som er brukt i problem 48, men en vet ikke noe nærmere om hva som ledet fram til uttrykket, ei heller om egypterne trodde uttrykket var eksakt eller bare tilnærmet rett.. Uansett representerer uttrykket en bedre tilnærming enn det som er funnet i babylonsk matematikk, 25/8 ≈ 3,125.

Også Moskva-papyrusen gir en løsning som kan svare til samme tilnærming for $\pi$, men geometrien i problemet som er omtalt her er ikke klart beskrevet. Det har vært foreslått at denne papyrusen finner arealet av en kuleflate, men en slik tolkning ville medføre at egypterne kunne beregne arealet av en kuleflate mer enn 1500 år før et slikt resultat er kjent fra andre kilder.

I løsninger for enkelte andre problem som involverer sirkler, kan det se ut som om egypterne også brukte uttrykk svarende til mindre nøyaktige tilnærminger for $\pi$.

Volum

Frustum med kvadratisk grunnflate

I problem 14 i Moskva-papyrusen er oppgaven å regne ut volumet av et frustum med en kvadratisk grunnflate, en rett pyramide kuttet av to plan. Grunnflaten har sidelengde 4, mens toppflaten har sidelengde 2. Høyden er oppgitt som 6. Metoden som brukes til å regne ut volumet $V$, svarer til formelen

$V={\frac {h}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})$,

når $a$ og $b$ er sidelengdene og $h$ er høyden. Egypterne ser ut til å ha løst problemet ved å dele det søkte volumet opp i flere mindre volum, men dette er en tolkning.

Den enkle og elegante formen til løsningen av problem 14 har fått matematikk-historikere til å omtale den romlige figuren i problemstillingen som «den største av alle egyptiske pyramider».

En babylonsk kilde drøfter samme problem, men oppgir feil formel for volumet. Andre kilder kan inidikere at babylonerne kjente til det rette svaret, men dette er omdiskutert.

Trekanter

Rhind-papyrusen har i problem 56 utregninger som kan minne om trigonometri og teori for formlike eller likedannede trekanter. For å kunne bygge en jevn sideflate på en pyramide, definerte egypterne et invers stigningstall, kalt «seqet» (også i moderne tid skrevet seqt, seqed, se-qet). Ordet «seqet» betydde den horisontale lengden som svarte til en høyde på 1 kubit, når lengden var målt i «hender». Det gikk syv hender i én kubit. Oppgaven går ut på å finne seqet for en pyramide som er 250 kubit høy og som har en kvadratisk grunnflate med sidelengde 360 kubiter. Svaret papyrusen gir er 5 1/25, målt i hender per kubit. Keopspyramiden har seqet lik 5 1/2. Papyrusen inneholder også fem andre seqet-problemer. Oppmålinger i moderne tid viser at flere egyptiske pyramider har seqet-verdier nøyaktig svarende til det en finner brukt i Rhind-papyrusen.

I Berlin-papyrusen forekommer tre pytagoreiske tripler, men ingen referanse til trekanter. Egypterne har brukt trippelet (3,4,5) til å konstruere rette vinkler, men det er ellers ingen tegn til at de har kjent til en mer generell form for den pytagoreiske læresetningen.

Litteratur

• Carl B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. 
• Audun Holme (2008). Matematikkens historie. 1. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 978-82-450-0697-1. 
• Marshall Clagett (1999). Ancient Egyptian science: Ancient Egyptian mathematics. 3. American Philosophical Society. ISBN 0-87169-232-5. 
• Thomas Heath (1981). A history of Greek mathematics. I. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8. 
• Florian Cajori (2007). A history of mathematical notations. I og II. Princeton, USA: Cosimo. ISBN 978-1-60206-684-7.