Pytagoreisk trippel

Et pytagoreisk trippel er tre positive heltall , og som oppfyller den pytagoreiske ligningen[1]

Pytagoreisk trippel i en rettvinklet trekant
.

En vanlig skrivemåte for et slikt trippel er , med tallene ordnet i stigende rekkefølge. Et velkjent eksempel er (3,4,5). Ved å kreve heltallsløsninger blir Pytagoras ligning en ikkelineær diofantisk ligning.

Navnet «pytagoreisk trippel» har opphav i den greske matematikeren Pytagoras og Pytagoras’ læresetning. Dersom alle sidelengdene i en rettvinklet trekant er heltallsverdier, så danner sidelengdene et pytagoreisk trippel. Omvendt vil en trekant med sidelengder lik et pytagoreisk trippel være rettvinklet.

I et primitivt pytagoreisk trippel har tallene , og ingen felles faktorer. Det eksisterer flere formler for å konstruere pytagoreiske tripler, både primitive og ikke-primitive.

Pytagoreiske tripler har vært kjent både i babylonsk, egyptisk, kinesisk og indisk matematikk lenge før Pytagoras levde. For en omtale av historien til pytagoreiske tripler, se Pytagoras’ læresetning.

Primitive pytagoreiske triplerRediger

DefinisjonRediger

Dersom   er et pytagoreisk trippel, så vil også   være det, for et vilkårlig heltall  . Fra dette følger det automatisk at det finnes uendelig mange pytagoreiske tripler. Dersom de tre tallene  ,  , og   ikke har noen felles faktor, så kalles de tre tallene for et primitivt trippel.[2] Tallene er da relativt primiske. Mens (3, 4, 5) er et primitivt trippel, er (6, 8, 10) et trippel med en felles faktor 2.

Elementære egenskaperRediger

For primitive pytagoreiske tripler gjelder følgende elementære egenskaper

  • c er alltid oddetall. Ett av tallene a og b er oddetall, det andre er partall.

EksemplerRediger

Der finnes 16 primitive pytagoreiske tripler med  :

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)

Den følgende listen viser primitive pytagoreiske tripler med  :

(20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125)
(88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149)
(85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181)
(57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197)
(84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221)
(60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257)
(23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277)
(160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)

Rasjonale punkt på en enhetssirkelRediger

En enkel omforming av ligningen for et pytagoreisk trippel gir

 

Å finne pytagoreisk tripler svarer altså til å finne et punkt på en enhetssirkel, der koordinatene er gitt ved to rasjonale tall.[3]

Konstruksjon av pytagoreiske triplerRediger

Formler for å konstruere pytagoreiske tripler har vært kjent i svært lang tid. De to følgende formlene skal være funnet av henholdsvis Pytagoras og Platon:[4]

 

I bok X gir Euklid et enda videre uttrykk for pytagoreiske tripler. Æren for det generelle uttrykket for alle primitive pytagoreiske tripler er gitt til Diofant, som levde omkring 200 år etter Kristus:[5]

 

Her er   og   to vilkårlige, positive heltall som ikke begge er oddetall. Dessuten er  , og de to tallene skal ikke ha noen felles faktor.

GeneraliseringerRediger

Fermats siste teoremRediger

Pytagoreiske tripler er løsninger av den diofantiske ligningen

 

når  . Pierre de Fermat skrev i 1637 i margen til en bok at han hadde funnet et bevis for at ligningen ikke har løsninger for  , uten senere å gi noe bevis. Påstanden er i ettertiden kalt Fermats siste teorem. Et bevis for dette teoremet ble først gitt av Andrew Wiles i 1994.

ReferanserRediger

  1. ^ G.H. Hardy, E.W. Wright (2008). An introduction to the theory of numbers. Oxford: Oxford University Press. s. 245-247. ISBN 978-0-19-921985-8. 
  2. ^ Judith D. Sally, Paul Sally (2007). Roots to research: A vertical development of mathematical problems (engelsk). American Mathematical Society Bookstore. s. 63ff. ISBN 978-0-8218-4403-8. 
  3. ^ A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.21ff
  4. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.81
  5. ^ A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.49

LitteraturRediger

  • Holme, Audun (2008). Matematikkens historie. 1. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 978-82-450-0697-1. 
  • Thomas Heath (1981). A history of Greek mathematics. I. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8. 

Eksterne lenkerRediger