Elementær funksjon

En elementær funksjon er en matematisk funksjon av en enkelt variabel, laget ved algebraiske kombinasjoner av en liten gruppe grunnfunksjoner: rasjonale funksjoner, eksponetialfunksjoner, logaritmefunksjoner, trigonometriske funksjoner og den generelle potensfunksjonen.[1][2]

Grunnfunksjonene kan settes sammen ved et endelig antall aritmetiske operasjoner addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. I tillegg regner også samensatte funksjoner av elementære funksjoner som elementære.[1] Noen definisjoner utvider klassen ved også å inkludere alle inverse funksjoner av elementære funksjoner som elementære.[3]

Elementære funksjoner kan være definert for en reell variabel eller for et komplekst argument.

Elementære grunnfunksjonerRediger

Til de elementære grunnfunksjonene av en reell eller kompleks variabel regnes[1]

PolynomfunksjonerRediger

 
Polynomfunksjoner

Polynomfunksjoner av en variabel er funksjoner på formen

 

hvor   er konstanter, og   er graden til polynomet, forutsatt at   er ulik null. Polynomfunksjoner er kontinuerlige, glatte og hele.

Rasjonale funksjonerRediger

En rasjonal funksjon er en funksjon definert som forholdet mellom to polynomfunksjoner:

 

Her er   og   polynomfunksjoner. Definisjonsmengden til en rasjonal funksjon er alle reelle eller komplekse verdier av   som ikke gjør nevneren   lik null.

Siden en konstant i nevneren også er et polynom, regnes polynomfunksjonene som en delmengde av de rasjonale funksjonene.

EksponentialfunksjonenRediger

 
Eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjonen med grunntall   er en funksjon på formen

 

der   er et positivt reelt tall.

Grunnformen for denne typen funksjoner er definert med grunntallet e = 2,718...

 

Funksjonen er vanligvis formelt definert som en uendelig potensrekke:

 

LogaritmefunksjonerRediger

 
Logaritmefunksjon

Logaritmefunksjonen med grunntall kan defineres som den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen:

 

Spesielt viktig er funksjonen med grunntall  :

 

Trigonometriske funksjonerRediger

De trigonometriske funksjonene er funksjoner som kan uttrykkes som et forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant, når en vinkel i trekanten brukes som funksjonsargument. Grunnleggende funksjoner er sinus, cosinus og tangens. De inverse funksjonene betegnes med arcus sinus, arcus cosinus og arcus tangens.

PotensfunksjonerRediger

Den generelle potensfunksjonen har formen

 

der   er en konstant. Funksjonen kan uttrykkes ved hjelp av logaritmer, som

 

Eksempler på elementære funksjonerRediger

Til de elementære funksjonene hører

  • Konstante funksjoner, som  
  • Funksjoner sammensatt av potens- og rot-uttrykk, som  
  • Hyperbolske funksjoner, som  
  • Inverse hyperbolske funksjoner, som  
  • Sammensetninger som
 

Den siste funksjonen er lik   i hele det komplekse planet.

Som et eksempel på en funksjon som ikke er elementær kan nevnes gammafunksjonen:

 

Egenskaper til elementære funksjonerRediger

Ved ikke å inkludere generelle inverse funksjoner oppnår en direkte fra definisjonen at mengden av elementære funksjoner er lukket under de aritmetiske operasjonene, samt sammensetning.

RefereanserRediger

  1. ^ a b c Hans Fredrik Aas (1974). Forelesningsnotater i matematisk analyse. I. Bergen: Matematisk institutt, Universitetet i Bergen. s. 62. 
  2. ^ G. Thomas, R. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7.  s.573
  3. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6.  [Elementary function]