Propagator

Propagator er en Green-funksjon som blir benyttet i kvantemekanikk og kvantefeltteori. Den beskriver bevegelsen til en partikkel og representerer sannsynlighetsamplituden for at den skal bevege seg fra et punkt til et annet punkt i et gitt tidsrom.

Linjene i et Feynman-diagram for elektron-positron spredning tilsvarer propagatorer for elektroner og fotoner. Tiden øker her mot høyre.

En ikke-relativistisk partikkel beveger seg alltid fremover i tiden, men opptrer vanligvis i en propagator med en energi som ikke er den samme som for en fri partikkel med samme impuls. Propagatoren for en relativistisk partikkel kan også bevege den bakover i tiden og uttrykker på den måten bevegelsen til sin egen antipartikkel.

Richard Feynman presenterte i sin doktorgradsavhandling fra 1942 en alternativ formulering av kvantemekanikken basert på veiintegral. Her ble for første gang introdusert en propagator som var ekvivalent med Schrödinger-ligningen. I 1948 viste Freeman Dyson at den tilsvarer en spesiell Green-funksjon. På den måten ble det snart klart at den strengt matematiske beskrivelsen av kvanteelektrodynamikk som Julian Schwinger hadde utviklet, var ekvivalent med den mer konkrete fremstillingen basert på bruk av Feynman-diagram.

Ikke-relativistisk partikkel

Bevegelsen til en partikkel som beveger seg i tre dimensjoner, er styrt av en Hamilton-operator ${\hat {H}}={\hat {H}}({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {p} }})$ som vanligvis ikke avhenger eksplisitt av tiden. Hver tilstand som partikkelen kan befinne seg i, forandrer seg med tiden. Denne variasjonen kan finnes fra tidsutvikliingsoperatoren

${\hat {U}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }$

Hvis partikkelen befinner seg i en tilstand $|\psi ,t_{0}\rangle$ ved tiden t₀, vil den befinne seg i en annen tilstand

$|\Psi ,t\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\Psi ,t_{0}\rangle$

ved et senere tidspunkt t > t₀. Denne beskrivelsen er ekvivalent med den tidsavhengige Schrödinger-ligningen når Hamilton-operatoren ikke varierer med tiden.

Propagatoren til partikkelen er sannsynlighetsamplituden for å observere den i punktet $\mathbf {x}$ ved tiden t  når den befant seg i punktet $\mathbf {x} _{0}$ ved et tidligere tidspunkt t₀ < t,

$K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})=\langle \mathbf {x} |e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }|\mathbf {x} _{0}\rangle$

Tidsutviklingen til en vilkårlig tilstandsvektor er ekvivalent med forandringen av bølgefunksjonen som beskriver tilstanden. Den kan nå skrives som

${\begin{aligned}\psi (\mathbf {x} ,t)&=\langle \mathbf {x} |\Psi ,t\rangle =\langle \mathbf {x} |e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }|\Psi ,t_{0}\rangle \\&=\int \!d^{3}x_{0}K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})\psi (\mathbf {x} _{0},t_{0})\end{aligned}}$

etter å ha satt inn et fullstendig sett $\int \!d^{3}x_{0}|\mathbf {x} _{0}\rangle \langle \mathbf {x} _{0}|=1$ med posisjonstilstander i matriseelementet. På denne måten kan man si at propagatoren bringer bølgefunksjonen frem i tid.

Noen egenskaper

I det spesielle tilfellet at t = t₀ kan propagatoren uttrykkes ved Diracs deltafunksjon,

$K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t)=\langle \mathbf {x} |\mathbf {x} _{0}\rangle =\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})$

For senere tidspunkt kan den beregnes fra egenfunksjonene til Hamilton-operatoren med egenverdier $E_{n}.$ Disse finnes ved å løse den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen ${\hat {H}}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ slik at de tilsvarende egenfunksjone er $u_{n}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} |n\rangle .$ Da egenvektorene utgjør et fullstendig sett $\sum _{n}|n\rangle \langle n|=1,$ gir dette ved innsettelse i propagatoren at

${\begin{aligned}K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})&=\sum _{n}\langle \mathbf {x} |e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }|n\rangle \langle n|\mathbf {x} _{0}\rangle \\&=\sum _{n}u_{n}(\mathbf {x} )u_{n}^{*}(\mathbf {x} _{0})\,e^{-iE_{n}(t-t_{0})/\hbar }\end{aligned}}$

En fri partikkel har Hamilton-operator ${\hat {H}}_{0}={\hat {\mathbf {p} }}^{2}/2m$ med egenverdier $E_{\mathbf {p} }=\mathbf {p} ^{2}/2m$ hvor p er partikkelens impuls. Egenfunksjonene er plane bølger

$\langle \mathbf {x} |\mathbf {p} \rangle =e^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} /\hbar }$

slik at summen over egentilstander i propagatoren må erstattes av et integral. Selv om det inneholder komplekse størrelser, kan det beregnes som et Gauss-integral og gir

${\begin{aligned}K_{0}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})&=\int \!{d^{3}p \over (2\pi \hbar )^{3}}e^{i\mathbf {p} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})/\hbar }e^{-i\mathbf {p} ^{2}/2m(t-t_{0})/\hbar }\\&=\left({m \over 2\pi i\hbar (t-t_{0})}\right)^{3/2}\exp \left({im(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})^{2} \over 2\hbar (t-t_{0})}\right)\end{aligned}}$

Fra definisjonen følger at en generell propagator har egenskapen

$K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})=\int \!d^{3}x_{1}K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{1},t_{1})K(\mathbf {x} _{1},t_{1};\mathbf {x} _{0},t_{0})$

som denne frie propagatoren derfor også oppfyller.

Green-funksjon

For at propagatoren skal kunne beregnes for alle tidsforskjeller mellom start- og sluttpunkt, kan definisjonen forandres til

$K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})=\theta (t-t_{0})\sum _{n}u_{n}(\mathbf {x} )u_{n}^{*}(\mathbf {x} _{0})\,e^{-iE_{n}(t-t_{0})/\hbar }$

ved bruk av Heavisides steppfunksjon. Den er én når argumentet er positivt og null ellers. Matematisk kan funksjonen utrykkes ved integralet

$\theta (t)=\int _{-\infty }^{\infty }\!{d\omega \over 2\pi }{i \over \omega +i\varepsilon }e^{-i\omega t}=\left\{{\begin{matrix}1,\quad t\geq 0\\0,\quad t<0\end{matrix}}\right.$

i grensen hvor den lille størrelsen ε → 0. Det viser også at den deriverte $\theta '(t)=\delta (t)$ som følger fra den tilsvarende definisjonen av Diracs deltafunksjon.

Bølgefunksjone som inngår i propagatoren, er løsninger av Schrödinger-ligningen

${\Big (}i\hbar {\partial \over \partial t}-{\hat {H}}{\Big )}u_{n}(\mathbf {x} )e^{-iE_{n}t/\hbar }=0,$

Den selv må derfor oppfylle den partielle differensialligningen

${\Big (}i\hbar {\partial \over \partial t}-{\hat {H}}{\Big )}K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})=i\hbar \delta (t-t_{0})\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})$

hvor deltafunksjonen i tid kommer fra den deriverte av steppfunksjonen. Dette viser at propagatoren er en Green-funksjon for den tidsavhengige Schrödinger-ligningen.

Perturbasjonsteori

Vanligvis kan man ikke løse Schrödinger-ligningen i det generelle tilfellet og derfor ikke i stand til å beregne dens Green-funksjon. Men når Hamilton-operatoren kan splittes opp som ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}$ hvor egenverdiproblemet for ${\hat {H}}_{0}$ kan løses, kan man i mange tilfelle betrakte ${\hat {V}}$ som en perturbasjon og på den måten utvikle en tilnærmet løsning av hele problemet. Denne fremgangsmåten tillater også at ${\hat {V}}={\hat {V}}(t)$ som alternativt kan behandles ved bruk av tidsavhengig perturbasjonsteori.

Ved å betrakte propagatoren som en Green-funksjon, kan dette ofte gjøres mer direkte. Den fulle propagatoren oppfyller nå differensialligningen

${\begin{aligned}{\Big (}i\hbar {\partial \over \partial t}-{\hat {H}}_{0}{\Big )}K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})&=i\hbar \delta (t-t_{0})\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\\&+V(\mathbf {x} ,t)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})\end{aligned}}$

Ved bruk av den frie propagatoren vil en generell løsning derfor måtte oppfylle

${\begin{aligned}&K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})=K_{0}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})\\&-{i \over \hbar }\int \!d^{4}x_{1}K_{0}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{1},t_{1})V(\mathbf {x} _{1},t_{1})K(\mathbf {x} _{1},t_{1};\mathbf {x} _{0},t_{0})\end{aligned}}$

Når det perturberende potensialet er tilstrekkelig svakt, kan man løse denne implisitte ligningen for den fulle propagatoren ved å innsette den frie propagatoren på høyre side. Det vil gi en løsning som tilsvarer første Born-approksimasjon. En mer nøyaktig løsning vil i neste omgang fremkomme ved å innsette denne løsningen på høyresiden av ligningen. Resultatet kan tolkes slik at den frie partikkelen kommer inn og treffer potensialet i et punkt. Derfra beveger den seg fritt og blir spredt av potensialet enda en gang før den fortsetter som en fri partikkel. Dette ville da være bidraget til propagatoren fra andre Born-approksimasjon. Slik kan man iterativt fortsette og dermed finne stadig nøyaktigere resultat.

Statisk propagator

Når den Hamilton-operatoren er uavhengig av tiden, kan den fulle propagatoren omformes ved å gjøre bruk av den matematiske representasjonen til Heavisides steppfunksjon. Da blir

${\begin{aligned}K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})&=\theta (t-t_{0})\langle \mathbf {x} |e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }|\mathbf {x} _{0}\rangle \\&=i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\!{dE \over 2\pi \hbar }G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{0};E)e^{-iE(t-t_{0})/\hbar }\end{aligned}}$

hvor matriseelementet

$G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{0};E)=\langle \mathbf {x} |{1 \over E-{\hat {H}}+i\varepsilon }|\mathbf {x} _{0}\rangle$

er Green-funksjonen for en partikkel som beveger seg med en gitt energi mellom to punkt. Selv om partikkelen vekselvirker med et statisk potensial, vil dens totale energi E  forbli konstant. Green-funksjonen oppfyller nå differensialligningen

$(E-{\hat {H}})G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{0};E)=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})$

hvor Hamilton-operatoren er

${\hat {H}}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+V(\mathbf {x} )$

For en fri partikkel kan denne statiske Green-funksjonen eksplisitt beregnes og har en sentral rolle i ikke-relativistisk spredningsteori.

Green-operator

Den statiske propagatoren er matriseelementet av operatoren

${\hat {G}}(E)={1 \over E-{\hat {H}}+i\varepsilon }$

hvor den lille størrelsen ε → 0. I denne grensen er operatoren den inverse til $E-{\hat {H}}$ og kalles for «Green-operatoren».

Når Hamilton-operatoren kan splittes opp som ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}$ der Green-funksjonen for den frie delen ${\hat {H}}_{0}$ kan beregnes, har man rekkeutviklingen

${\hat {G}}={1 \over E-{\hat {H}}_{0}-{\hat {V}}+i\varepsilon }={\hat {G}}_{0}+{\hat {G}}_{0}{\hat {V}}{\hat {G}}_{0}+{\hat {G}}_{0}{\hat {V}}{\hat {G}}_{0}{\hat {V}}{\hat {G}}_{0}+\cdots$

hvor Green-operatoren for den frie partikkelen er

${\hat {G}}_{0}(E)={1 \over E-{\hat {H}}_{0}+i\varepsilon }$

Denne rekkeutviklingen ${\hat {G}}$ tilsvarer en Born-serie i statisk perturbasjonsteori og kan verifiseres ledd for ledd ved å multiplisere med $E-{\hat {H}}_{0}-{\hat {V}}$ på en av sidene av ligningen.

Fri propagator i impulsrommet

Hamilton-operatoren til den frie partikkelen er gitt ved kvadratet av impulsoperatoren ${\hat {\mathbf {p} }}$ slik at dens statiske Green-funksjon er

$G_{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{0};E)=\langle \mathbf {x} |{1 \over E-{\hat {\mathbf {p} }}^{2}/2m+i\varepsilon }|\mathbf {x} _{0}\rangle$

Ved å innsette her et fullstendig sett med impulsegentilstander $|\mathbf {p} \rangle ,$ tar denne formen

$G_{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{0};E)=\int \!{d^{3}p \over (2\pi \hbar )^{3}}G_{0}(\mathbf {p} ,E)\,e^{i\mathbf {p} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})/\hbar }$

hvor

$G_{0}(\mathbf {p} ,E)={1 \over E-\mathbf {p} ^{2}/2m+i\varepsilon }$

kan betraktes som den frie propagatoren i impulsrommet. Den har utstrakt bruk i ikke-relativistisk mange-partikkelteori.

Propagator som veiintegral

Illustrasjon av noen av veiene som inngår i veiintegralet for propagatoren mellom et punkt A og et senere punkt B.

Betydningen av en propagator ble først klarlagt av Richard Feynman i hans doktorgradsarbeide. Der utviklet han en ny formulering av kvantemekanikken som var forskjellig fra den som tidligere var etablert av Heisenberg og Schrödinger. Deres formuleringer var basert på eksistensen av en Hamilton-operator som fikk en tilsvarende rolle som Hamilton-funksjonen hadde i klassisk mekanikk. Feynman tok derimot utgangspunkt i den klassiske Lagrange-funksjonen som dermed gjorde det enklere å utlede kvantemekaniske resultat for relativistiske teorier i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori.

I denne formuleringen kan sannsynlighetsamplituden som propagatoren representerer, fremstilles som en sum av de komplekse amplitudene for alle veiene mellom de to punktene det gjelder. Sannsynlighetsamplituden for én enkelt vei mellom et punkt x₀ ved tiden t₀ og et annet punkt x ved tiden t > t₀ kan uttrykkes ved den klassiske virkningen

$S[\mathbf {x} (t)]=\int _{t_{0}}^{t}\!dtL(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)$

til den ene veien. Summen over alle disse amplitudene går over til et veiintegral i den kontinuerlige grensen. Det gir den kvantemekaniske propagatoren som dermed kan skrives på formen

$K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})=\int \!D\mathbf {x} (t)\,e^{iS[\mathbf {x} (t)]/\hbar }$

En utregning av dette veiintegralet er avhengig av at integrasjonsmålet $D\mathbf {x} (t)$ blir nøyaktig definert. Dette er enklest å gjennomføre for frie partikler hvor man på denne måten da kommer frem til det vanlige resultatet for propagatoren.

Ikke-relativistisk kvantefeltteori

Beregning av egenskaper til systemer med mange identiske partikler gjøres mye enklere ved bruk av kvantefeltteori. For ikke-relativistiske partikler omtales vanligvis slike teorier som andrekvantiserte da det ikke lenger er deres posisjoner og impulser som er kvantiserte, men deres felles bølgefunksjon. For en fri partikkel går denne da over til å bli en kvantefeltoperator

${\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=\int \!{d^{3}p \over (2\pi \hbar )^{3}}{\hat {a}}_{\mathbf {p} }\,e^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -E_{\mathbf {p} }t)/\hbar }$

hvor partikkelens energi er $E_{\mathbf {p} }=\mathbf {p} ^{2}/2m.$ Denne operatoren fjerner en partikkel i punktet x ved tiden t. Det skjer via annihilasjonsoperatoren ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }$ som fjerner en partikkel med impuls p fra systemet. Den hermitisk adjungerte operatoren

${\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} ,t)=\int \!{d^{3}p \over (2\pi \hbar )^{3}}{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }\,e^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -E_{\mathbf {p} }t)/\hbar }$

skaper på tilsvarende vis en partikkel i punktet x ved hjelp av kreasjonsoperatoren ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }.$ Disse feltoperatorene må oppfylle den kanoniske samtidskommutatoren

$\left[{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t),{\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x'} ,t)\right]_{\pm }=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$

hvor det øverste fortegnet gjelder for fermioner og det nederste for bosoner. Det betyr at man må ha

$\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {p'} }^{\dagger }\right]_{\pm }=(2\pi \hbar )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} )$

samtidig som alle andre kommutatorer mellom disse operatorene er null. Den tomme tilstanden $|0\rangle$ definert ved ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0$ har lavest energi og er systemets vakuum.

Propagator

Propagatoren til en fri partikkel kan nå finnes fra

${\begin{aligned}K_{0}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})&=\theta (t-t_{0})\langle \mathbf {x} ,t|\mathbf {x} _{0},t_{0}\rangle \\&=\theta (t-t_{0})\langle 0|{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t){\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} _{0},t_{0})|0\rangle \end{aligned}}$

Ved innsettelse av de to feltoperatorene uttrykt ved sine kreasjon og annihilasjonsoperatorer kombinert med den fundamentale kommutatoren mellom disse, finner man så

${\begin{aligned}K_{0}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})&=\theta (t-t_{0})\int \!{d^{3}p \over (2\pi \hbar )^{3}}e^{i(\mathbf {p} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})-E_{\mathbf {p} }(t-t_{0}))/\hbar }\\&=i\hbar \int \!{d^{4}p \over (2\pi \hbar )^{4}}G_{0}(\mathbf {p} ,E)e^{i(\mathbf {p} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})-E(t-t_{0}))/\hbar }\end{aligned}}$

der $d^{4}p=d^{3}pdE$ og man benytter definisjonen av Heavisides steppfunksjon. Propagatoren er dermed den firedimensjonale Fourier-transformerte av den statiske Green-funksjonen i impulsrommet.

Når man benytter tidsordningsoperatoren $T,$ kan propagatoren alternativt defineres som

$K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})=\langle 0|T{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t){\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} _{0},t_{0})|0\rangle$

Generelt vil tidsordningen av to operatorer gi et ekstra minustegn når to fermionfelt ombyttes. Den fulle progatoren for et vekselvirkende felt kan også finnes basert på denne definisjonen. I tillegg gjelder den for relativistiske kvantefeltteorier der feltoperatorene skaper og fjerner både partikler og antipartikler.

Relativistiske partikler

Når partiklene har meget høy energi, må de beskrives i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori. Det er da hensiktsmessig å benytte enheter slik at lyshastigheten c = 1. En partikkel med impuls p og masse m  har en energi E som er bestemt ved sammenhengen

$E^{2}=\mathbf {p} ^{2}+m^{2}$

Ved bruk av kovariant formalisme kan dette skrives som $p^{2}=m^{2}$ hvor firevektoren $p^{\mu }=(E,\mathbf {p} )$ alene karakteriserer partikkelens bevegelse.

Energien til en relativistisk partikkel kan nå ha to verdier $E=\pm E_{\mathbf {p} }$ med $E_{\mathbf {p} }={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.$ De med negativ energi går formelt bakover i tid, men Feynman kom frem til at disse løsningene beskriver antipartikler som beveger seg fremover i tid med en tilsvarende positive energi. Propagatoren for et boson beskrevet ved Klein-Gordon-ligningen kan derfor defineres som

${\begin{aligned}K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})&=\theta (t-t_{0})\sum _{E_{n}>0}u_{n}(\mathbf {x} )u_{n}^{*}(\mathbf {x} _{0})\,e^{-iE_{n}(t-t_{0})/\hbar }\\&+\theta (t_{0}-t)\sum _{E_{n}<0}u_{n}(\mathbf {x} )u_{n}^{*}(\mathbf {x} _{0})\,e^{-iE_{n}(t-t_{0})/\hbar }\end{aligned}}$

For et fermion opptrer de to bidragene med motsatt fortegn. Det skyldes Paulis eksklusjonsprinsipp og derfor også for elektroner som følger Dirac-ligningen.

Klein-Gordon-partikler

Når man benytter den vanlige normaliseringen med én partikkel per volumenhet, er bølgefunksjonen for en Klein-Gordon-partikkel

$u_{\mathbf {p} }(\mathbf {x} )={\sqrt {1 \over 2E_{\mathbf {p} }}}e^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} /\hbar }$

Propagatoren for denne partikkelen kan da uttrykkes ved den ekvivalente Green-funksjonen som

${\begin{aligned}&i\hbar D_{F}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} _{0},t_{0})=\int \!{d^{3}p \over 2E_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}}e^{i\mathbf {p} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})/\hbar }\\&\times \left[\theta (t-t_{0})e^{-iE_{\mathbf {p} }(t-t_{0})/\hbar }+\theta (t_{0}-t)e^{iE_{\mathbf {p} }(t-t_{0})/\hbar }\right]\end{aligned}}$

Ved å benytte definisjonen av steppfunksjonen som et komplekst integral, kan den siste faktoren forenkles til

${\begin{aligned}&i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\!{dE \over 2\pi \hbar }\left({1 \over E-E_{\mathbf {p} }+i\varepsilon }-{1 \over E+E_{\mathbf {p} }-i\varepsilon }\right)e^{-iE(t-t_{0})/\hbar }\\&=i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\!{dE \over 2\pi \hbar }{2E_{\mathbf {p} } \over E^{2}-E_{\mathbf {p} }^{2}+i\varepsilon '}e^{-iE(t-t_{0})/\hbar }\end{aligned}}$

hvor man her kan skrive

$E^{2}-E_{\mathbf {p} }^{2}=E^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}=p^{2}-m^{2}$

ved benytte fireimpulsen $p^{\mu }=(E,\mathbf {p} ).$ Ved bruk av samme kovariante formulering er derfor den relativistiske propagatoren til partikkelen gitt som

$D_{F}(x;x_{0})=\int \!{d^{4}p \over (2\pi \hbar )^{4}}{1 \over p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }e^{-ip\cdot (x-x_{0})/\hbar }$

der nå $x^{\mu }=(t,\mathbf {x} )$ angir en posisjon i det firedimensjonale Minkowski-rommet. Dette er Feynman-propagatoren som antydes med indeksen F  som ofte benyttes i dens betegnelse.

En fullstendig forståelse av relativistiske partikler må gjøre bruk av kvantefeltteori. Kreasjon og annihilasjon av Klein-Gordon-partikler kan da beskrives ved et kvantisert skalarfelt ${\hat {\phi }}(x).$ På tilsvarende måte som for en ikke-relativistisk partikkel vil propagatoren følge fra

$i\hbar D_{F}(x;x_{0})=\langle 0|T{\hat {\phi }}(x){\hat {\phi }}^{\dagger }(x_{0})|0\rangle$

Utregningen fra denne definisjonen er den samme som allerede beskrevet her i den førstekvantiserte fremstillingen.

Fourier-transformert propagator

En mer direkte vei til et matematisk uttrykk for en relativistisk propagator er mulig ved å betrakte den som en Green-funksjon. For et Klein-Gordon-felt må denne da oppfylle differensialligningen

$(-\hbar ^{2}\partial ^{2}-m^{2})D(x;x_{0})=\delta (x-x_{0})$

Den løses mest direkte ved å uttrykke funksjonen ved dens Fourier-transformerte,

$D(x;x_{0})=\int \!{d^{4}p \over (2\pi \hbar )^{4}}D(p)e^{-ip\cdot (x-x_{0})/\hbar }$

Sammen med et lignende integral for den firedimensjonale deltafunksjonen gir ligningen nå

$(p^{2}-m^{2})D(p)=1$

Ved her å benytte at $p^{2}-m^{2}=E^{2}-E_{\mathbf {p} }^{2},$ vil dermed propagatoren følge fra integralet

$D(x;x_{0})=\int \!{d^{3}p \over (2\pi \hbar )^{3}}\int _{-\infty }^{\infty }{dE \over 2\pi \hbar }{1 \over E^{2}-E_{\mathbf {p} }^{2}}e^{-ip\cdot (x-x_{0})/\hbar }$

Integrasjonsveien til Feynman-propagatoren kommer frem ved å gå under den negative polen og over den positive.

Her inneholder integralet over E  to poler ved E = ± E_p som begge kan bidra. Dette kan reguleres ved at det utvides til et komplekst konturintegral hvor integrasjonsveien blir en lukket kurve som sluttes i nedre eller øvre halvplan. Det avhenger av om t > t₀ eller t < t₀.

Feynman-propagatoren $D_{F}$ kommer frem ved å la integrasjonsveien gå litt over den positive polen i det første tilfellet og litt under i det motsatte tilfellet. På den måten går de positive løsningene fremover i tid, mens de negative går bakover i tid. Dette spesielle valget tilsvarer å integrere langs E-aksen samtidig som m² → m² - iε og senere i svaret la denne lille størrelsen bli null. Andre integrasjonsveier ville gitt Green-funksjoner med andre egenskaper enn ønsket for en fysisk propagator.

Dirac-partikler

Propagatoren til et relativistisk fermion beskrevet ved Dirac-ligningen, kan beregnes i førstekvantisert teori fra løsningene med positiv og negativ energi som følger direkte fra ligningen på tilsvarende måte som for en Klein-Gordon-partikkel. Alternativt kan den finnes fra matriseelementet

$i\hbar S_{F}(x;x_{0})=\langle 0|T{\hat {\psi }}(x){\hat {\psi }}^{\dagger }(x_{0})|0\rangle$

i den andrekvantiserte formuleringen hvor Dirac-partikkelen og dens antipartikkel er beskrevet ved en feltoperator ${\hat {\psi }}(x).$ Resultatet kan ved begge fremgangsmåtene skrives som

$S_{F}(x;x_{0})=\int \!{d^{4}p \over (2\pi \hbar )^{4}}S_{F}(p)e^{-ip\cdot (x-x_{0})/\hbar }$

hvor

$S_{F}(p)={1 \over p\!\!\!/-m+i\varepsilon }={p\!\!\!/+m \over p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }$

når man benytter notasjonen $p\!\!\!/=p^{\mu }\gamma _{\mu }$ som nå er standard.

Mest direkte finnes propagatoren fra dens egenskap som Green-funksjon for Dirac-ligningen. Det betyr at den tilfredsstiller

$(i\hbar \partial \!\!\!/-m)S(x;x_{0})=\delta (x-x_{0})$

Herav finner man den Fourier-transformerte $S(p)=1/(p\!\!\!/-m)$ som så gir propagatoren $S_{F}$ ved å la m → m - iε i integrasjonen som fører den tilbake til Minkowski-rommet. Alt dette inngikk i Feynmans første, publiserte fremstilling av moderne kvanteelektrodynamikk.

Fotonpropagator

Fotoner fremkommer ved kvantisering av det elektromagnetiske strålingsfeltet. Dette kan gjøres på flere forskjellige måter avhengig av hvilken gauge man velger å benytte. Av denne grunn vil også fotonpropagatoren se forskjellige ut for ulike gaugevalg. Enklest er å gjøre bruk av Lorenz-gaugen hvor vektorpotensialet oppfyller ∂_μA^μ = 0. Bølgeligningen i SI-systemet forenkles da til

$\partial ^{2}A^{\mu }(x)=\mu _{0}J^{\mu }(x)$

hvor den elektriske firestrømmen $J_{\mu }(x)=(c\rho ,\mathbf {J} )$ med ladningstetthet $\rho (x)$ inngår på høyre side. Hver av komponentene oppfyller dermed en masseløs Klein-Gordon-ligningen. Med dette gaugevalget har man derfor med en gang fotonpropagatoren

$\Delta _{F\mu \nu }(k)=-{\eta _{\mu \nu } \over k^{2}+i\varepsilon }$

i det firedimensjonale impulsrommet med k^μ = (ω/c, k). Ved en Fourier-transformasjon kan den finnes i Minkowski-rommet.

Elektromagnetisk vekselvirkning

Som alle andre kvantemekaniske propagatorer benyttes også fotonpropagatoren til å beregne vekselvirkninger med og mellom andre partikler. I det enkleste tilfellet kan man betrakte to partikler a  og b  med tilhørende strømmer $J_{\mu }^{a}(x)$ og $J_{\mu }^{b}(x).$ Utveksling av et foton mellom disse to strømmen gir dermed opphav til en vekselvirkningsenergi

$H_{int}(a,b)=J_{\mu }^{a}(k)\Delta _{F}^{\mu \nu }(k)J_{\nu }^{b}(k)=-{J^{a}(k)\cdot J^{b}(k) \over k^{2}+i\varepsilon }$

når den uttrykkes ved de Fourier-transformerte komponentene av strømmene. Bevarelse av strøm $\partial ^{\mu }J_{\mu }=0$ vil da skrives som $k\cdot J=\omega J_{0}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {J} =0.$ I denne beskrivelsen er det ikke tydelig hva som tilsvarer Coulomb-vekselvirkningen mellom partiklene. Men det kan vises at ved bruk av Lorenz-gaugen skyldes den en kombinasjon av bidragene fra de skalare og longitudinale komponentene av fotonfeltet.

Derimot kommer Coulomb-vekselvirkningen tydelig frem hvis man velger å beskrive det elektromagnetiske feltet i den transverse gaugen ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =0.$ Den kalles da også for «Coulomb-gaugen» og gir den elektriske koblingen

$H_{int}^{C}(a,b)={J_{0}^{a}(k)J_{0}^{b}(k) \over c^{2}\mathbf {k} ^{2}}$

Feynman-diagram for utveksling av et foton mellom to elektroner.

mellom ladningene til partiklene. Den magnetiske kraften oppstår ved utveksling av transverse fotoner. De kobler til strømmen ved de transverse komponentene $\mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {J}$ gitt ved polarisasjonsvektorene $\mathbf {e} _{1}$ og $\mathbf {e} _{2}.$ Dette bidraget til vekselvirkningsenergien blir dermed

$H_{int}^{tr}(a,b)={1 \over k^{2}+i\varepsilon }\sum _{\lambda =1,2}\mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {J} ^{a}(k)\,\mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {J} ^{b}(k)$

Summen over de to polarisasjonsvektoren gir nå projeksjonsoperatoren

$\sum _{\lambda =1,2}e_{\lambda i}e_{\lambda j}=\delta _{ij}-{k_{i}k_{j} \over \mathbf {k} ^{2}}$

slik at den transverse vekselvirkningsenergien tar formen

$H_{int}^{tr}(a,b)={1 \over k^{2}+i\varepsilon }\left(\mathbf {J} ^{a}(k)\cdot \mathbf {J} ^{b}(k)-{\mathbf {k} \cdot \mathbf {J} ^{a}\,\mathbf {k} \cdot \mathbf {J} ^{b} \over \mathbf {k} ^{2}}\right)$

Ved nå å inkludere strømbevarelse $\mathbf {k} \cdot \mathbf {J} =\omega J_{0}$ for begge partiklene, blir dermed den totale vekselvirkningen

${\begin{aligned}H_{int}(a,b)&=H_{int}^{C}(a,b)+H_{int}^{tr}(a,b)\\&={\mathbf {J} ^{a}(k)\cdot \mathbf {J} ^{b}(k) \over k^{2}+i\varepsilon }+{(k^{2}-\omega ^{2}/c^{2})J_{0}^{a}(k)J_{0}^{b}(k) \over \mathbf {k} ^{2}(k^{2}+i\varepsilon )}\\&={1 \over k^{2}+i\varepsilon }\left(\mathbf {J} ^{a}(k)\cdot \mathbf {J} ^{b}(k)-J_{0}^{a}(k)J_{0}^{b}(k)\right)\end{aligned}}$

Dette er det samme resultat som ved bruk av Lorenz-gaugen og gir en kvantemekanisk forklaring av den klassiske Darwin-vekselvirkningen. Resultatet er uavhengig av hvilket gaugevalg man gjør for foton-propagatoren. Men spesielt i relativistisk kvantefeltteori og elektrodynamikk gjør den enkle formen i Lorenz-gaugen beregningene vanligvis enklere.

Ekstern lenke

• F. Dyson, Talking physics with Feynman, Youtube interview about propagators and path integrals (1998).
• T. Evans, The Feynman Propagator and Cauchy’s Theorem, lecture at Imperial College (2018).