Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering er en teknikk i algebra med det grunnleggende formål å redusere en variabel med et polynom av annen grad i en ligning eller i et matematisk uttrykk, slik at det fremkommer et lineært polynomisk uttrykk i annen potens. Med andre ord vil det si å skrive et andregradspolynom (polynom av andre grad) på kvadratisk form. På denne måten blir det i mange sammenhenger lettere å løse bestemte ligninger. Teknikken brukes blant annet for å løse andregradsligninger.

Kvadratkomplettering

AvledningRediger

Et andregradspolynom blir skrevet på kvadratisk form:

 .

Ved hjelp av en av kvadratsetningene utvikler vi leddet på høyre side i ligningen overfor og viser at dette er lik ligningens venstreledd:

 

OversiktRediger

Ved kvadratkomplettering omformes altså et andregradspolynom til et kvadrert lineært polynom og en konstant. Det betyr at et polynom av formen

 

endres til et av formen

 

Legg merke til at koeffisientene a, b, c, d og e overfor selv kan være matematiske uttrykk og inneholde andre variabler enn x.

Vanlig formelRediger

For

 

har vi

 
 
 

eller

 

EksemplerRediger

Eksempel 1Rediger

Et meget enkelt eksempel er:

 

Eksempel 2Rediger

Et annet enkelt eksempel er å finne røttene av:

 

* kvadratkompletteringen

Eksempel 3Rediger

Si at man vil finne løsningen av ligningen  . Man kan da anvende kvadratkomplettering:

 

sett overforstående lik null og løs:

 

Eksempel 4Rediger

Betrakt problemer med å finne følgende integral:

 .

Det kan gjøres ved hjelp av kvadratkomplettering av nevneren. Nevneren er

 .

Når kvadratet kompletteres ved å legge (10/2)² = 25 til x² - 10x fås det perfekte kvadratet x² - 10x + 25 = (x - 5)². Derfor fås:

 .

Dermed er integralet

 .

Eksempel 5Rediger

Som en generalisering av eksempel 2, kan røttene av

 

finnes ved å omforme ligningen slik at x og x2 ikke lengre opptre. For å klare dette kompletteres kvadratet: ta halvdelen av koeffisienten til x, kvadrer den og legg den til på begge sider av likhetstegnet på følgende måte:

 

* kvadratkomplettering

Eksempel 6 (den generelle andregradsligningen)Rediger

Eksempel 5 kan generaliseres ytterligere til å finne løsningene av den generelle andregradsligningen

 

ettersom det først foretas kvadratkomplettering slik:

 .

hvorav

 

Komplekse versjoner av kvadratkompletteringRediger

Betrakt uttrykket

 

der   og   er komplekse tall,   og   er de komplekse konjugasjonene av henholdsvis   og  , og   er et reelt tall. Dette kan uttrykkes på denne måten:

 

som klart er en virkelig mengde. Det er den fordi

 

På samme måte kan uttrykket

 

der  ,  ,  ,   og   er reelle tall og   samt  , uttrykkes ved kvadratet av den absolutte verdien av et komplekst tall. Defineres

 

slik

 

, noe som gir

 

BrukRediger

Med kvadratkomplettering kan man lokalisere andregradspolynomets minste verdi:

 

Denne ulikheten viser at den minste verdien   antas ettersom tallet x er lik tallet  .

Kvadratkomplettering kan også brukes på andre måter, eksempelvis for å skrive om følgende eksempel:

 
 

Se ogsåRediger