Åpne hovedmenyen
En rett linje gjennom origo skjærer hyperbelen i et punkt som gir de to hyperbolske funksjonene og hvor er det røde araelet.

Hyperbolske funksjoner er matematiske funksjoner av en variabel. De er analoge til de mer vanlige trigonometriske funksjonene som er forbundet med egenskaper til sirkelen. På samme måte er de hyperbolske funksjonene forbundet med egenskaper til hyperbelen. De viktigste av disse funksjonene er sinh (sinus hyperbolicus), cosh (cosinus hyperbolicus) og tanh (tangens hyperbolicus).

De ble først studert av den sveitsiske matematiker Leonhard Euler noen få år før 1750. Men deres geometriske innhold og matematiske betydning ble klarlagt vel ti år senere av den italienske matematiker Vincenzo Riccati og hans samtidige Johann Heinrich Lambert. Den sistnevte har også gitt funksjonene de navnene som fremdeles brukes. Han kom frem til dem i forbindelse med sine undersøkelser av det som i dag kalles hyperbolsk geometri.

De trigonometriske funksjonene og kan benyttes til å parametrisere en sirkel. I et kartesisk koordinatsystem er denne beskrevet ved ligningen når den har radius . Ved å skrive og hvor vinkelen angir et punkt på sirkelen målt fra aksen, følger den fundamentale sammenhengen

eller

I samme kartesiske koordinatsystem er en hyperbel beskrevet ved ligningen . De to viktigste, hyperbolske funksjonene kan nå defineres ved parametriseringen og hvor den variable kalles den hyperbolske vinkel. Den kan identifiseres med arealet som er begrenset av hyperbelen vist i figuren. Innsatt vil disse to funksjonene derfor måtte oppfylle den fundamentale ligningen

I motsetning til de trigonometriske funksjonene, kan disse to hyperbolske funksjonene derfor ta vilkårlige store verdier. Den tredje hyperbolske funksjonen er definert som og tar verdier som alltid ligger mellom og . Likedan kan man definere som kan ta vilkårlige verdier.

Innhold

DefinisjonerRediger

 
Hyperbolsk cosinus (blå), hyperbolsk sinus (rød) og hyperbolsk tangens (grønn).

Det geometriske innholdet til funksjonene som følger fra egenskaper ved hyperbelen, kan videre benyttes til å vise at de kan eksplisitt uttrykkes ved Eulers eksponensialfunksjon. Kalles argumentet nå for  , finner man da at

  • Hyperbolsk cosinus:
 
  • Hyperbolsk sinus:
 
  • Hyperbolsk tangens:
 

Dette kan også tas som definisjonene av disse tre funksjonene. Videre er det vanlig å definere i tillegg de følgene funksjonene

  • Hyperbolsk cotangens:
 
  • Hyperbolsk secans:
 
  • Hyperbolsk cosecans:
 

Algebraiske identiteterRediger

Fra definisjonene kan man nå lett verifisere at den fundamentale identiteten

 

er oppfylt. Videre følger addisjonssetningene

 
 

De er analoge til relasjonene for de tilsvarende trigonometriske funksjonene med summen av to vinkler som argument. Setter man her  , følger det fra den første identiteten at

 ,

mens fra den siste følger det at

 

Derfor har man også at

 
 

På samme måte gjelder

 

slik at

 

Herav følger de tilsvarende relasjonene

 

DeriverteRediger

Da den deriverte av eksponensialfunksjonen tilfredsstiller

 ,

er de deriverte av de hyperbolske funksjonene ganske enkelt gitt ved

 

Det kan så benyttes til å vise at

 

Taylor-utviklingerRediger

Fra Taylor-rekken til eksponensialfunksjon følger direkte at

 

og viser tydelig at det er en odde funksjon, nemlig  . På samme måte er

 

i overensstemmelse med at den er en like funksjon, nemlig  . Taylor-rekken til tangens-funksjonene blir dermed

 
 

der   er  -te det Bernoulli-tallet.

Inverse hyperbolske funksjonerRediger

 
Plot av invers hyperbolsk funksjon arsinhx.
 
Plot av invers hyperbolsk funksjon arcoshx.
 
Plot av invers hyperbolsk funksjon artanhx.

Da argumentet til de hyperbolske funksjonene har betydning av et areal, kalles de inverse funksjonene ofte for arealfunksjoner. For eksempel, den inverse funksjonen til sinh kalles derfor arsinh og den inverse til cosh er arcosh. De må alle oppfylle det basale kravet til inverse funksjoner, for eksempel må

 

Denne ligningen kan nå løses ved å skrive   slik at  . Ved å bruke definisjonen av hyperbolsk sinus, finner man direkte ligningen

 

eller

 

som er en andregradsligning for  . Da denne må være positiv, er det bare en løsning

 

eller

 

Det er lett å sjekke at dette stemmer da

 

På samme måte for de andre funksjonene finner man så tilsvarende at

 
 
 

DeriverteRediger

 
 
 
 

Taylor-utviklingerRediger

 
 
 

og hvorfra man også har:

 

StandardintegralRediger

Fra de deriverte av de vanlige, hyperbolske funksjonene følger direkte integralene

 
 
 
 

hvor C  er en integrasjonskonstant. Andre integral kan uttrykkes ved de inverse funksjonene. For eksempel, i integral som involverer √(x2 + a2) kan man sette x = a sinhu slik at kvadratroten √(x2 + a2) = coshu. Sammen med dx = a coshu du gir det for eksempel integralet

 

Samme metode med x = a coshu gir likedan

 

mens substitusjonen x = a tanhu gjør det mulig å gjøre integralet

 

når |x| < |a|. Hvis ikke, er svaret gitt ved arcoth(x/a). Mer kompliserte integral kan finnes med de samme substitusjonene analogt med tilsvarende integral som kan uttrykkes ved trigonometriske funksjoner.

Komplekse hyperbolske funksjonerRediger

Eksponensialfunksjon en ex kan utvides til å gjelde for alle komplekse argument z = x + iy. Den resulterende, komplekse funksjonen

 

er da definert i hele det komplekse planet med verdier som finnes fra Eulers likhet. Den samme utvidelsen kan benyttes til å definere de tilsvarende, komplekse utvidelsene   og   av de hyperbolske funksjonene. De vil dermed bli periodiske med periode 2π i i den imaginære retningen. Her er   den imaginære enheten. Egenskapene til de deriverte funksjonene vil dermed være de samme som for de reelle funksjonene gitt tidligere og finnes ganske enkelt derav ved å la  .

Hyperboliske funksjoner i det kompleks planet. Fargene angir deres verdier som er komplekse tall:
       

De tidligere addisjonsteoremene gjelder også for disse komplekse utvidelsene slik at man har

 

Herav følger de viktige sammenhengene

 

som også kan leses direkte ut av definisjonene for disse funksjonene.

Lorentz-transformasjonenRediger

Hyperbolske funksjoner kan benyttes i spesiell relativitetsteori til å beskrive Lorentz-transformasjoner mellom forskjellige inertialsystem. For eksempel, en slik transformasjon mellom et system med koordinatene (x',t') som beveger seg med konstant hastighet v langs x - aksen i forhold til et annet system med koordinatene (x,t) kan skrives som

 

hvor c er lyshastigheten. Her er videre

 

den berømte Lorentz-faktoren og

 

slik at cosh2θ - sinh2θ = 1. Derfor er x2 - (ct)2 = x' 2 - (ct')2 slik at dette tidromintervallet er uforandret eller invariant under Lorentz-transformasjonen. Man kan betrakte den som en vanlig rotasjon i et rom hvor tidskoordinaten er   med   imaginær enhet, altså imaginær.

RapiditetRediger

Parameteren θ  i Lorentz-transformasjonen er i utgangspunktet et areal, men kalles i fysikken for rapiditet og benyttes til å uttrykke hastigheten til en partikkel. Sammenhengen mellom de to størrelsene er gitt ved

 

eller ved den inverse relasjonen θ = artanh(v/c). Mens den fysiske hastigheten til en partikkel aldri kan bli større en lyshastigheten, kan dens rapiditet bli vilkårlig stor. Derfor brukes rapiditet ofte for å skille mellom hastighetene til ekstremt relativistiske partikler, for eksempel i elementærpartikkelfysikken.

Betrakter man en partikkel med hastighet u'  langs x' - aksen i (x',t') - systemet, vil den ha en hastighet i (x,t) - systemet som er gitt ved den relativistiske formelen

 

for addisjon av hastigheter. Bare ved hastigheter mye mindre enn lyshastighetn forenkles denne til det vanlige resultatet u = u' + v. Med bruk av rapiditeter er u = c tanhφ  og u' = c tanhφ'  slik at denne formelen ikke er noe annet enn uttrykket for hyperbolsk tangens til en sum av to areal,

 

Det betyr at rapiditene ganske enkelt adderer seg som φ = φ' + θ selv ved meget store hastigheter.

Hvis en partikkel med masse m ligger i ro i (x',t') - systemet, vil den der ha energien E' = mc2 og impuls p' = 0. Sett fra (x,t) - systemet vil den bevege seg langs x -aksen med hastighet v. Energien og impulsen til den vil da være gitt ved den samme Lorentz-transformasjonen, det vil si

 

Rapiditeten til partikkelen kan nå skrives som

 

Dette uttrykket er også gyldig når partikkelen beveger seg i en vilkårlig retning med impulsen p. For en masseløs partikkel som fotonet har det liten mening å benytte rapiditet da det beveger seg med lyshastigheten i alle inertialsystemer.

LitteraturRediger

  • M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Books, New York (1964). ISBN 0-486-61272-4.

Eksterne lenkerRediger