Kommutativ lov
En kommutative lov i matematikk er et teorem eller et aksiom som sier at en binær operasjon er kommutativ.[1] En kommutativ operasjon tillater at rekkefølgen på de to argumentene kan endres uten å endre resultatet. Addisjon av reelle tall er for eksempel kommutativ, slik at 2 + 3 = 3 + 2. Divisjon er derimot ikke kommutativ, fordi a/b generelt ikke er lik b/a. Utsagnet «faktorenes orden er likegyldig» er et uttrykk for at multiplikasjon av reelle tall er kommutativ og assosiativ (begge egenskapene trengs for at faktorenes rekkefølge ikke skal spille noen rolle).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Commutative_Addition.svg/250px-Commutative_Addition.svg.png)
En algebraisk struktur som inneholder en kommutativ operasjon blir ofte omtalt som en kommutativ struktur.[1] En abelsk gruppe er for eksempel en kommutativ gruppe.
Kommutativitet er en fundamental egenskap til mange operasjoner, og egenskapen blir ofte postulert i aksiomer som definerer operasjonen. Dette gjelder for eksempel for kroppsaksiomene for addisjon og multiplikasjon.[2] Dersom en operasjon ikke kommuterer, så er den ikke-kommutativ. Også en matematisk struktur kan være ikke-kommutativ.
Formell definisjon
redigerEn binær operasjon på en mengde S er kommutativ dersom
Dette kan også uttrykkes som at x og y kommuterer i operasjonen.
Dersom en binære operasjonen uttrykkes som en funksjon f(x,y), så vil operasjonen være kommutativ hvis og bare hvis funksjonen er symmetrisk slik at f(x,y) = f(y,x). Operasjonen multiplikasjon kan for eksempel skrives som funksjonen f(x,y) = xy.
En ikke-kommutativ operasjon kan være anti-kommutativ, det vil si at f(x,y) = - f(y,x). Dette krever at resultatet av operasjonen er definert i en mengde der det eksisterer en invers, ofte gitt ved et negativt element.
Eksempler
redigerFra hverdagslivet
rediger- Å ta på seg strømper kan betraktes som en kommutativ operasjon: uansett om en starter med venstre eller høyre fot, så blir resultatet det samme.
- Dusjing og tørking er utført sammen, «addert», er ikke en kommutativ operasjon. Rekkefølgen av de to leddene er avgjørende for sluttresultatet.
Aritmetikk
rediger- Addisjon og multiplikasjon av reelle og komplekse tall kommuterer.
- Divisjon og subtraksjon er ikke kommutative operasjoner.
Matematikk generelt
rediger- Multiplikasjon av to matriser er ikke kommutativ. Dette er vist ved det følgende eksempelet:
- Operasjonen å sette to reelle funksjoner sammen er ikke kommutativ. Generelt vil
Kommutativitet i matematiske strukturer
rediger- En abelsk gruppe eller kommutativ gruppe er en gruppe der gruppeoperasjonen kommuterer.
- En kommutativ ring er en ring der multiplikasjonen kommuterer. En ring har også definert addisjon, og denne vil alltid være kommutativ.
- I en kropp er både addisjon og multiplikasjon kommutative.
- Både vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon i et vektorrom er kommutative.
- Mengden av kvaternioner er en ikke-kommutativ utvidelse av de komplekse tallene.
- Produktet i en Grassmann-algebra er anti-kommutativt. En slik algebra benyttes for en mulig supersymmetri i elementærpartikkelfysikk.
Se også
redigerReferanser
rediger- ^ a b , E.J.Borowski, J.M.Borwein,1989, Commutative, s.92
- ^ W.Rudin, 1976, s.5
Litteratur
rediger- E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6.
- Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3. Sjekk datoverdier i
|dato=
(hjelp)