Assosiativ lov

En assosiative lov er i matematikk et teorem eller et aksiom sier at en binær operasjon er assosiativ. En assosiativ operasjon tillater at parenteser kan plasseres fritt i et uttrykk der operasjonen utføres flere ganger i en sekvens. Addisjon av reelle tall er et eksempel på en assosiativ operasjon, der ( 2 + 3 ) + 7 = 2 + ( 3 + 7 ). Subtraksjon er derimot ikke assosiativ, siden ( 7 - 2 ) - 3 ikke er lik 7 - ( 2 - 3 ).

Generelt vil parenteser bestemme rekkefølgen som ledd i en sammensatt operasjon skal utføres i. For å regne ut uttrykket

$(3+2)+(7+3)\,$

skal en først legge sammen (3 + 2), deretter (7 + 3) og så til slutt summere resultatene for de to parentesene. I sammensetninger av en assosiativ operasjon kan en utføre operasjonene i vilkårlig rekkefølge, så lenge rekkefølgen til leddene ikke endres. Endring av rekkefølgen er knyttet til egenskapen kommutativitet, som ikke må forveksles med assosiativitet.

En algebraisk struktur som inneholder en assosiativ operasjon kan omtales som en assosiativ struktur.

Assosiativitet er en fundamental egenskap til mange operasjoner, og egenskapen blir ofte postulert i aksiomer som definerer operasjonen. Dette gjelder for eksempel for kroppsaksiomene for addisjon og multiplikasjon av reelle tall.

Formell definisjon

En binær operasjon $*$ på en mengde S er assosiativ dersom

$(x*y)*z=x*(y*z)\qquad {\mbox{for all }}x,y,z\in S.$

Dersom en binære operasjonen uttrykkes som en funksjon f(x,y), så vil operasjonen være assosiativ hvis og bare hvis funksjonen har egenskapen f(f(x,y),z) = f(x,f(y,z)). Operasjonen multiplikasjon kan for eksempel skrives som funksjonen f(x,y) = xy.

Eksempler

Aritmetikk

• Addisjon og multiplikasjon av reelle og komplekse tall er assosiativ.

• Divisjon og subtraksjon er ikke assosiative operasjoner.

Matematikk generelt

• Operasjonen å ta unionen av to mengder er assosiativ. Det samme gjelder for snittet:

$\left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{for alle set }}A,B,C.$

• Kryssproduktet av to vektorer i R³ er ikke assosiativt. Generelt vil

$(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} \neq \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ),$

når u, v og w er vektorer i R³.

Assosiativitet i matematiske strukturer

• Gruppeoperasjonen i en gruppe er assosiativ.

• I en kropp er både addisjon og multiplikasjon assosiative. Det samme gjelder for en ring.

• I en algebra er multiplikasjonen ikke nødvendigvis assosiativ.

• Vektoraddisjon i et vektorrom er assosiativ.

Se også

• Distributiv lov
• Kommutativ lov

Litteratur

• E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6. 

• Walter Rudin (1953). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.