De Moivres formel

De Moivres formel er et matematisk uttrykk som forbinder komplekse tall med trigonometri. Den sier at for hvert reelt tall x og heltall n har man sammenhengen

De Moivres formel er en direkte konsekvens av Eulers formel i det komplekse planet.

hvor i er den imaginær enhet, det vil si i 2 = -1.

En indirekte utgave av formelen ble først publisert av Abraham de Moivre på begynnelsen av 1700-tallet, men ble mer systematisk formulert av Leonhard Euler noen tiår senere. Den er da en direkte konsekvens av Eulers formel og egenskapen til eksponentialfunksjonen.

Formelen kan utvides til å gjelde for det mer generelle tilfellet der n er et rasjonalt tall. Den man da benyttes til å beregne n-te enhetsrøtter, det vil si komplekse løsninger av ligningen zn = 1. Historisk har disse spilt en viktig rolle innen tallteori.

Noen anvendelserRediger

Når n = 2 sier formelen at

 

Ved å sammenligne de reelle og imaginære leddene på begge sider, finner man sammenhengene

 

De er to av de viktigste, trigonometriske identitetene.

På samme måte kan binomialformelen benyttes for n = 3 og gir

 

Nå betyr dette at

 

som man finner etter å ha benyttet Pythagoras' setning   Slik kan man fortsette og finne uttrykk for   og   ved enklere, trigonometriske funksjoner.[1]

EnhetsrøtterRediger

 
De tre enhetsrøttene i det komplekse planet for n = 3.

Da cos = 1 og sin = 0 når φ = 2π k/n når både k og n er heltall, gir de Moivres formel at løsningene til ligningen zn = 1 med z = cosφ + i sinφ er gitt som

 

Det finnes k slike forskjellige røtter som er verdiene til disse komplekse tallene for k = 0,1,2,..,n - 1. I det komplekse planet tilsvarer de en oppdeling av enhetssirkelen i n like store deler. Ligningen omtales derfor også som sirkeldelingsligningen.[2]

Enhetsrøttene spiller en avgjørende rolle ved løsning av mer generelle polynomligning. For eksempel gjorde Niels Henrik Abel bruk av dem i forbindelse med løsninger av femtegradsligningen. Galois-teori sier at de alle kan reduseres til de tre basale regneartene, det vil si addisjon, multiplikasjon og rotuttrekning.[2]

ReferanserRediger

  1. ^ T. Lindstrøm, Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-15-02710-4.
  2. ^ a b J. Reed og J. Aarnes, Matematikk i vår tid: En introduksjon, Universitetsforlaget, Oslo (1967).

LitteraturRediger