Sykloide

Sykloide er en matematisk kurve som beskrives av et punkt på en sirkel som triller langs en rett linje med jevn hastighet. Den har vært kjent fra antikken og beundret både for sin form og geometriske egenskaper. Ut fra måten den genereres består den av uendelig mange og like buer langs en rett linje. Hvor to buer møtes, har kurven en spiss. Ut fra dens form trodde man i lengre tid at den var en halv ellipse.

En sykloide genereres av et punkt på en sirkel som ruller på et horisontalt underlag.

Galileo Galilei var en av de første som prøvde å studere denne kurven nøyere. Det var han som ga den navnet sykloide, og han prøvde å bestemme arealet under en bue. Dette inngikk i planer han hadde for å bygge broer med en slik form. Han tegnet kurven på et materiale og skar så bort alt bortsett fra stoffet under buen. Ved å veie dette stykket materiale og sammenligne vekten med vekten av den genererende sirkelen laget av samme materiale, fant han at arealet under sykloidebuen var tre ganger så stort som sirkelarealet.

Historie

De matematiske egenskapene til kurven interesserte den franske matematiker Gilles de Roberval som arbeidet i kretsen rundt den kjente pater Marin Mersenne. I 1634 kunne han ved et geometrisk argument bevise at Galileis resultat for arealet under en sykloidebue var eksakt riktig. Samtidig fant han en elegant metode til å bestemme tangent til kurven i hvert punkt. Disse resultatene ble videre diskutert av Descartes og Blaise Pascal. De gjorde det også mulig for Christiaan Huygens i 1659 å konstruere en mer nøyaktig klokke hvor pendelen svingte langs en sykloidebue.

Lignende studier ble også utført i England hvor den berømte arkitekt Christopher Wren brukte sykloidebuer i sine byggverk. Rundt 1660 klarte han å beregne lengden av en slik bue. Igjen ble dette gjort ved rent geometriske metoder da moderne matematiske analyse ennå ikke var kjent. Men i 1686 kunne Gottfried Leibniz skrive ned ligningen for sykloiden. Sammen med den nye differensialregningen som han var med å etablere, kunne nå disse egenskapene ved kurven beregnes mer direkte.

Sykloiden viste seg også i 1696 å gi løsningen av brakistokronproblemet. Det går ut på å finne den banen som en partikkel må følge for å bevege seg raskest mulig uten friksjon fra et punkt til et lavere punkt under påvirkning av tyngdekraften. I praksis var dette problemet allerede løst av Huygens over tredve år tidligere.

Matematiske egenskaper

En sykloide (blå) genereres av et punkt P på en rullende sirkel (rød). Her har den radius a.

I et kartesisk koordinatsystem (x,y) med y -aksen rettet oppover, kan sykloiden parametrisk beskrives ved de to ligningene

$x=a(\phi -\sin \phi )\,,$

$y=a(1-\cos \phi )\,.$

De tilsvarer koordinatene til punktet P  på den genererende sirkelen med radius a som ruller på x-aksen. Vinkelen φ  angir hvor langt den har rullet. Fra figuren ser man at x-koordinaten til dette punktet er linjestykket OB minus den horisontale projeksjonen av den roterende radius CP med lengde a. Da rullingen til sirkelen forutsettes å skje uten glidning, er lengden av den rette linjen OB lik lengden av sirkelbuen BP, det vil si aφ. Og da projeksjonen av radius er a sinφ, er x-koordinaten gitt ved differensen a(φ - sinφ). På samme måte er y-koordinaten gitt ved radius a minus den vertikale projeksonen av linjestykket CP, det vil si a(1 - cosφ).

Sirkelen starter å rulle med φ = 0  som tilsvarer punktet (x = 0, y = 0)  på sykloiden. Den har sitt første maksimum y = 2a  når φ = π  og sin første spiss når φ = 2π  der y = 0 igjen. Sirkelen har da trillet en strekning 2π a  som er lik dens omkrets.

Tangenter

Et punkt P  på sykloiden har en tangent som går gjennom toppunktet T  til den genererende sirkelen. Dette kan forklares ved at sirkelen også roterer om basepunktet B slik at linjen BP  er normal til sykloiden og dermed også normal til tangenten i punktet P. Trekanten BPT er derfor rettvinklet og linjen BT  er en diameter i sirkelen. Det betyr at vinkelen θ  som tangenten danner med y-aksen, er halvparten av sentralvinkelen φ  som angir hvor langt sirkelen har trillet.

Denne viktige egenskapen følger også trigonometrisk fra definisjonen tanθ = dx/dy . Differensialene dx  og dy  finnes lett fra sykloidens ligninger og gir

$\tan \theta ={dx \over dy}={1-\cos \phi \over \sin \phi }={\sin ^{2}\phi /2 \over \sin \phi /2\cos \phi /2}={\sin \phi /2 \over \cos \phi /2}=\tan {\phi \over 2}$

Herav følger igjen at θ = φ/2. Huygens benyttet disse egenskapene til tangenten til å vise at evoluten til sykloiden er en annen, identisk sykloide. Denne spesielle egenskapen gjorde han praktisk bruk av i sine mer nøyaktige urverk. På lignende vis er evolventen til kurven også en sykloide.

Buelengde

Lengden av en sykloidebue fra en spiss til den neste er gitt ved det vanlige integralet for buelengde

$S=\int _{0}^{2\pi }\!ds=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{2\pi }\!d\phi {\sqrt {(dx/d\phi )^{2}+(dy/d\phi )^{2}}}$

Fra sykloidens ligninger finnes dx/dφ = a(1 - cosφ)  og dy/dφ = a sinφ. Kvadreres disse og kombineres, blir integralet forandret til

$S=a\int _{0}^{2\pi }\!d\phi {\sqrt {2-2\cos \phi }}=2a\int _{0}^{2\pi }\!d\phi \sin {\phi \over 2}=8a$

etter igjen å ha brukt den trigonometriske identiteten 1 - cosφ = 2 sin²(φ/2). Buelengden er dermed fire ganger lengre enn diameteren til den genererende sirkelen.

Areal

På samme måte er arealet under denne sykloidebuen gitt ved integralet

$A=\int _{0}^{2\pi }\!ydx=a^{2}\int _{0}^{2\pi }\!d\phi (1-\cos \phi )^{2}=a^{2}\int _{0}^{2\pi }\!d\phi (1-2\cos \phi +\cos ^{2}\!\phi )=a^{2}(2\pi +\pi )=3\pi a^{2}$

Da π a² er arealet til sirkelen, bekrefter dermed dette resultatet som Galileo fant ved direkte målinger.

Generaliserte sykloider

Sykloiden tilhører klassen av rullekurver som er beskrevet ved et punkt på en sirkel som ruller på en annen kurve. I dette enkleste tilfellet ruller den på en rett linje.

Av interesse er også de kurver som fremkommer når sirkelen ruller på en annen sirkel som ligger fast. Skjer rullingen på utsiden, fremkommer en episykloide, mens en hyposykloide blir generert ved innvendig rulling.

En annen, lignende klasse av kurver beskrives av et punkt på en rullende sirkel når punktet ikke ligger på dennes periferi. Når den faste kurven da er en rett linje, fremkommer en trokoide. På samme måte som for episykloiden, vil man på dette vis generere en epitrokoide når den rullende sirkel beveger seg på en fast sirkel. Den opptrer i gresk astronomi der planetenes bevegelse ble forklart ved at de roterte på episykler som igjen beveget seg på en fast sirkel.

Litteratur

• E. H. Lockwood, A Book of Curves, Cambridge University Press, England (1967). ISBN 0-5210-4444-8.
• E. A. Whitman, Some historical notes on the cycloid, Amer. Math. Monthly 50, 309—315 (1943).

Eksterne lenker

• E. Weisstein, Cycloid Evolute, Wolfram MathWorld