Partiellderivert

Den partiellderiverte til en flervariabel funksjon er den deriverte til funksjonen med hensyn på en variabel, mens de andre blir holdt konstant.

Tangenter parallelt med x og y-aksen

Notasjonen for den partiellderiverte for en funksjon med variablene med hensyn på skriver en som oftest på formen

men en kan også skrive han som . En les "den partiellderiverte av med hensyn på ".

, en stilisert kursiv d, blir brukt for å vise til partiellderiverte og skiller det fra deriverte av envariable funksjoner, .

Den deriverte til en envariablet funksjon er stigningstallet til tangenten i punktet . I en funksjon med to variabler er det uendelig mange tangenter i hvert punkt , men som oftest er det tangentene parallelt til enten eller -aksen som er av høyest interesse. Når en partiellderiverer finner vi stigningstallet til en av disse to tangentene.

DefinisjonRediger

R2Rediger

La   vere en funksjon av to variabler,   og  .

Den partiellderiverte til   med hensyn på   er definert som

 ,

dersom grenseverdien eksisterer.

Korresponderende er den pariellderiverte med hensyn på   definert slik:

 

RnRediger

Vi kan generalisere definisjonen i andredimensjon til å gjelde for alle dimensjoner

Unnlat en funksjon av variabler, .   

Vi definerer den partiellderiverte til   med hensyn på   slik:

 

Hver funksjon i   har   partiellderiverte; en til hver variabel.

Eksempel i R2Rediger

Vi har funksjonen  

 

Når en partiellderiverer med hensyn på en variabel behandler vi den andre som konstant. De to partiellderiverte til   er dermed

 

Stigningstalet til tangenten parallelt med  -aksen i punkt (1,1) er

 

Tilsvarende har vi stigingstalet til tangenten parallelt med  -aksen:

 

Partiellderiverte av høyere ordenRediger

Slik som for funksjoner med en variabel, kan vi definere partiellderiverte av høyere orden for funksjoner med flere variabler. Dersom en partiellderivert er deriverbar kan en fortsette å derivere med hensyn på samme eller en annen variabel så langt det lar seg gjøre.

Deriverer vi en førstepartiellderivert med samme variabel finner vi den andrepartiellderiverte, og skriver følgende notasjoner:

 

Deriverer vi med en annen variabel får vi en krysset andrepartiellderivert

 

Symmetrien eller likheten av andre partiellderiverte fastslår at rekkefølgen for å oppnå en krysset andrepartiellderivert er likegyldig[1]

 

Deriverer vi en andrepartiellderivert får vi en tredjepartiellderivert, og så videre... Deriverer vi en funksjon  -ganger med samme variabel får vi n-te ordens partiellderivert

 

Vi får en n-te ordens kryssene partiellderivert dersom vi deriverer en funksjon   ganger med   ulike variabler

 

Se ogsåRediger

ReferanserRediger

  1. ^ Adams, Robert A (2017). «12.4». Calculus: A Complete Course. Pearson Canada. s. 698–699. ISBN 9780134154367.