Linjekoordinater

Linjekoordinater benyttes i analytisk geometri til å angi retning og posisjon for en rett linje i planet eller rommet på samme måte som vanlige punktkoordinater benyttes til å angi posisjonen til et punkt.

Linjen y = 2 - x/2 i planet har ikke-homogene linjekoordinater (-1/2, 2).

Linjekoordinater ble innført av Julius Plücker på midten av 1800-tallet. I dag benyttes de innen robotikk og CAD.

Rette linjerRediger

En linje i planet med kartesiske koordinater {x, y } kan beskrives ved ligningen y = ax + b. Her angir a stigningstallet og b gir skjæringspunktet med y-aksen der x = 0. Dermed kan (a, b ) sies å være koordinatene for slike linjer på samme måte som (x, y ) er koordinatene til et punkt.

Mens den lineære ligningen y = ax + b beskriver punkt langs en rett linje med koordinater (a, b ), kan man også betrakte den når punktet (x, y ) holdes fast. Løsningene vil da gi koordinatene (a, b ) for alle linjer som går gjennom dette punktet.[1]

En kurve i planet fremkommer når punktkoordinatene oppfyller en ligning f(x,y ) = 0 som har en løsning y = y(x). Alternativt kan man anta at kurven kan uttrykkes ved en parameter t  slik at x = x(t) og y = y(t). På samme måte vil løsningen til en ligning g(a,b ) = 0 mellom de to linjekoordinatene kunne skrives på parameterform som a = a(t ) og b = b(t ). Den beskriver de rette linjene y = a(t )x + b(t ) som utgjør en linjeskare. De danner omhyllingskurven som tilsvarer ligningen mellom de to linjekoordinatene.[2].

Homogene koordinaterRediger

De to linjekoordinatene (a, b ) i planet er mangelfulle da de ikke kan beskrive linjer parallelle med y-aksen. Det kan gjøres ved å innføre en tredje koordinat slik at en rett linje skrives som

 

Nå vil linjekoordinatene (u, v, w ) kunne angi alle linjer med både retning og posisjon i planet. Men multipliseres de med en konstant k, vil (ku, kv, kw ) angi den samme linjen som (u, v, w ). De sies derfor å være homogene linjekoordinater av samme type som benyttes i projektiv geometri.[3]

Som et eksempel har linjen y = 2 - x/2 de homogene linjekoordinatene (1/2, 1, -2) som er ekvivalent med (1, 2, -4) eller (-3, - 6, 12) og uendelig mange andre verdier.

Projektivt planRediger

I det projektive planet RP2 definerer to punkt en linje på samme måte som at alle linjer har et skjæringspunkt. Linjer som skjærer hverandre uendelig langt borte, erstatter parallelle linjer i euklidsk geometri. Hvert punkt kan entydig angis ved tre homogene punktkoordinater (x, y, z ). Mens punkter som ligger i det uendelige fjerne, er gitt ved z = 0, kan punkter i den endelige delen av planet angis ved å velge z = 1 da disse koordinatene er homogene.[3]

Ligningen for en rett linje i dette planet er gitt ved

 

der (u, v, w ) ≠ (0, 0, 0) er de tre homogene linjekoordinatene for linjen. Punkter i det uendelige fjerne ligger på linjen (0, 0, 1), mens x-aksen er gitt ved linjen (0, 1, 0) og y-aksen har linjekoordinatene (1, 0, 0).

Linjer i rommetRediger

På parameterform kan en linje i rommet skrives som r = nt + r0 hvor vektoren n angir dens retning og punktet r0  ligger på linjen. Når rommet har tre dimensjoner, behøves det derfor i utgangspunktet 3 + 3 = 6 variable eller koordinater for å spesifisere den. Men retningen n behøver bare to koordinater, mens punktet r0  kan flyttes til andre punkt på samme linje. Det har derfor også en mindre frihetsgrad slik at man i alt har 2 + 2 = 4 uavhengige linjekoordinater i tre dimensjoner.

Plücker bestemte disse koordinatene fra linjens projeksjoner på to av de tre kartesiske koordinatflatene. Velges disse å være xz- og yz-planene, er projeksjonene gitt ved de to ligningene

 

hvor (r, s, ρ, σ ) er Plücker-koordinatene for den tredimensjonale linjen.[4]

Disse koordinatene kan bestemmes ved å angi to punkt x = (x1,x2,x3) og y = (y1,y2,y3) som ligger på den. Plücker kunne uttrykke resultatet ved komponentene til de to vektorene n = x - y og m = x × y. Her gir n retningen i rommet til linjen, mens komponentene til m angir størrelsen av projeksjonene på de tre koordinatflatene av trekanten som punktene x og y danner med origo. Denne vektoren inneholder derfor informasjon om avstanden til linjen fra origo. Man har dermed r = nx/nz, s = ny/nz, ρ = - my/nz og σ = - mx/nz slik at de seks komponentene (n; m) = (nx, ny, nz; mx, my, mz) kan betraktes som homogene linjekoordinater. Men de er ikke uavhengige av hverandre da vektoren m alltid er vinkelrettn som følger fra definisjonen av det vektorielle kryssproduktet. Det gir Plücker-betingelsen m ⋅ n = 0 og derfor effektivt bare fire frie koordinater.[5]

Projektivt romRediger

Hvis hvert punkt x i det tredimensjonale, projektive rommet RP3 beskrives ved fire homogene koordinater (x0,x1,x2,x3), vil punkter i den endelige delen tilsvare verdier som vanligvis beskrives ved å ta x0 = 1. De seks Plücker-koordinatene for en linje gjennom to punkt x og y kan da finnes fra den antisymmetriske matrisen P = (Pij ) med elementer

 

De tidligere koordinatene gjenfinnes ved å sette x0 = y0 = 1 som gir n = (P10,P20,P30) og m = (P23,P31,P12). Plücker-betingelsen tilsvarer at determinanten det P = 0.[5]

Et plan i rommet kan beskrives ved ligningen u1x1 + u2x2 + u3x3 + u0 = 0 med bruk av ikke-homogene koordinater. Her angir vektoren u = (u1,u2,u3) retningen til planets normal, mens u0 er en konstant. Sammen utgjør de fire homogene koordinater for planet. I det projektive rommet er derfor planet beskrevet ved ligningen

 

som viser at (u0,u1,u2,u3) er homogene koordinater for planet. Koordinatene for skjæringspunktet mellom planet og linjen P = (n; m) er nå gitt ved

 

som gir x0 = - nu og x = nu0 - m×u. Hvis linjen er parallell med planet, vil vektorene n og u stå vinkelrett på hverandre slik at det skalare produktet nu = 0. Da er den homogene koordinaten x0 = 0 som betyr at skjæringspunkt ligger i det uendelige fjerne.

DualitetRediger

Ligningen for et plan i det projektive rommet er symmetrisk ved ombytte av de homogene koordinatene for punkt og plan. Dette danner grunnlaget for dualitet som er av sentral betydning i projektiv geometri.[5]

På samme måte som to punkt definerer en linje i planet, vil også to plan med koordinater (u0,u) og (v0,v) entydig spesifisere en skjæringslinje. Dens retning vil være gitt ved kryssproduktet n = u×v som inngår i en ny Plücker-matrise Q = (Qij ) for linjen. Da punkter (x0,x) på denne ligger på begge planene, må man ha ux + u0x0 = 0 og vx + v0x0 = 0. Sammen gir de betingelsen mx = 0 der m = uv0 - vu0. Dermed har man de duale Plücker-koordinatene Q = (n;m) hvor betingelsen nm = 0 er oppfylt.

De enkelte komponentene til den duale Plücker-matrisen kan nå finnes fra det antisymmetriske produktet

 

der n = (Q23,Q31,Q12) og m = (Q10,Q20,Q30). Ved dualitet kan man herfra beregne koordinatene (u0,u) for planet som en vilkårlig linje Q = (n;m) danner med et annet punkt (x0,x),

 

Mange andre, geometriske relasjoner mellom punkter, linjer og plan i rommet kan finnes ved tilsvarende metoder.[4]

ReferanserRediger

  1. ^ F. Klein, Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus, Verlag von Julius Springer, Berlin (1925).
  2. ^ R. Tambs Lyche, Matematisk Analyse I, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).
  3. ^ a b R. Fenn, Geometry, Springer-Verlag, London (2001). ISBN 1-85233-058-9.
  4. ^ a b J. Plücker, Neue Geometrie des Raumes gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement, Teubner, Leipzig (1868).
  5. ^ a b c D. Pedoe, A Course of Geometry for Colleges and Universities, Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.

Eksterne lenkerRediger