Elliptisk partiell differensialligning

En elliptisk partiell differensialligning er en andreordens differensialligning der koeffisientene oppfyller visse krav. Ut fra disse kravene kan man utlede ønskelige egenskaper ved slike ligninger, slik som eksistens av løsning og begrensninger på maksimumsverdier. Elliptiske partielle differensialligninger omfatter en stor klasse av ulike kjente partielle differensialligninger, herunder de gitt ved Laplace-operatoren, som igjen blant annet brukes for å formulere Laplace-ligningen og Poisson-ligningen.

En elliptisk partiell differensialligning formuleres ved hjelp av differensialoperatoren, med gitte koeffisienter. Dersom koeffisientene utgjør indekser i en positiv definitt matrise, regnes ligningen for å være elliptisk. Andre mulige klassifiseringer av partielle differensialligninger er hyperbolsk og parabolsk.

Definisjon

Dersom $L$ er en partiell differensialoperator, gitt på divergensform ved

$Lu=-\sum _{i,j}^{n}(a^{ij}(x)u_{x_{i}})_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b^{i}(x)u_{x_{i}}+c(x)u$

sier vi at $L$ er elliptisk dersom det eksisterer en konstant $\theta >0$ slik at

$\sum _{i,j=1}^{n}a^{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \theta |\xi |^{2}$

for alle $x\in U$ og for alle $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$. Her er $a_{ij}$ er reelle funksjoner fra $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, og $\xi =(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n})$ en vektor.

Eksempel

La $n=2$, og se på Laplace-ligningen gitt ved

$Lu=-\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

Her blir $a^{ij}=\delta _{ij}$, Kronecker-delta-funksjonen, dvs. $a^{11}=a^{22}=1$, $a^{12}=a^{21}=0$ og $b^{1}=b^{2}=c=0$. Da er

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a^{ij}\xi _{i}\xi _{j}=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}=1|\xi |^{2}$

så betingelsen gitt over holder med $\theta =1$ og ligningen er altså elliptisk.

Bilineær form

For en gitt elliptisk differensialoperator $L$, og et gitt underrom $U\in \mathbb {R}$ er den assosierte bilineære formen $B[{\text{ }},{\text{ }}]$ gitt ved

$B[u,v]=\int _{U}\sum _{i,j=1}^{n}a^{ij}u_{x_{i}}v_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b^{i}u_{x_{i}}v+cuvdx$

for alle $u,v\in H_{0}^{1}(U)$, der $H_{0}^{1}(U)$ er et Sobolev-rom bestående av alle funksjoner som er én gang deriverbar og null på randen av U.

Dersom man ønsker å løse randverdiproblemet

$u(x)={\begin{cases}Lu=f&x\in U\\u=0&x\in \partial U\\\end{cases}}$

for en gitt $f$ og en ukjent $u$, sier man at $u$ er en svak løsning dersom

$B[u,v]=(f,v)$

for alle $v\in H_{0}^{1}(U)$, der $({\text{ }},{\text{ }})$ betegner indreproduktet i $L^{2}(U)$. Betingelser for eksistens av slike løsninger er gitt ved Lax-Milgrams teorem.