Dirac-formalisme elller bra-ket-notasjon benyttes i lineær algebra hvor operatorer virker i et komplekst vektorrom. Den ble oppfunnet av den engelske fysiker Paul Dirac i 1939 for bruk i kvantemekanikk, men kan lett benyttes ved andre anvendelser.

Paul Dirac under en forelesning.

En vektor v omtales som en «ket-vektor» og betegnes med symbolet , mens en dual vektor u* kalles en «bra-vektor» med betegnelsen . Dermed kan indreproduktet av disse to vektorene skrives som På denne formen minner dette om en engelsk bracket  hvor bokstaven c  er erstattet med en loddrett strek som skiller vektorene.[1]

Matrisenotasjon

rediger

I et komplekst vektorrom   med en basis kan operatorer representeres som N × N matriser. De virker på vektorer som er kolonnematriser og kan betraktes som ket-vektorer. Hvis vektorens komponenter er vn hvor indeksen n = 1, 2, ..., N, kan den derfor representeres ved kolonnevektoren

 

hvor T  står for transponering.

Når en operator   virker på denne, vil den gi en ny ket-vektor   Da operatoren er representert ved matrisen A = (Amn) i denne basisen, er hver komponent til denne transformerte vektoren gitt som

 

Den duale vektoren til ket-vektoren   er bra-vektoren   med komponenter i en radvektor,

 

Formelt finnes den fra kolonnevektoren   ved kompleks konjugasjon etterfulgt av transponering.[2]

Indreproduktet mellom en bra-vektor   og ket-vektoren   kan uttrykkes ved vektorenes komponenter som

 

Formelt kan derfor bra- og ket-vektorer betraktes som rad- og kolonnevektorer med komplekse komponenter.

Kvantemekanikk

rediger

Kvantemekaniske bølgefunksjoner kan beregnes fra en tilstandsvektor   i et komplekst og lineært vektorrom kjent som et Hilbert-rom. Det kan ha uendelig mange dimensjoner og vektorene kan ha indekser som varierer kontinuerlig.

Med en diskret basis i Hilbert-rommet kan denne «ortonormeres» slik at

 

hvor det vanlige Kronecker-deltaet opptrer på høyre side. I denne basisen kan man uttrykke tilstandsvektoren som

 ,

hvor komponenten   er å betrakte som en «sannsynnlighetsamplitude» som angir graden av sannsynlighet for at systemet befinner seg i tilstand  

For en partikkel som kan bevege seg langs en linje med kontinuerlig koordinat x, er det naturlig å benytte en koordinatbasis basert på egentilstander  . Deres normering er nå

 ,

hvor Diracs deltafunksjon opptrer på høyre side.

Bølgefunksjonen til partikkelen er formelt komponenten   Den er sannsynlighetsamplituden for at partikkelen skal finnes i punktet x. Indreproduktet mellom to tilstandsvektorer   og   er nå gitt som

 .

Denne beskrivelsen lar seg lett utvide til å gjelde for en kvantemekanisk partikkel som kan bevege seg i tre dimensjoner.[3]

Referanser

rediger
  1. ^ P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford at the Clarendon Press, Oxford (1947).
  2. ^ M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
  3. ^ D.J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.