Addisjon av hastigheter

Addisjon av hastigheter opptrer når hastigheten til en gjenstand skal finnes i et referansesystem når den har en gitt hastighet i et annet referansesystem som beveger seg relativt til det første. For eksempel vil en person som går omkring på et tog i bevegelse, si at han går langsomt. Men en observatør som ser mannen fra en stasjonsplatform, ser han fare raskt forbi med en hastighet nesten like stor som togets. For lydbølger gir en slik bevegelse av lydkilden en forandring av dens frekvens som er den akustiske Doppler-effekten.

Hastighetene til bilene er avhengig av om de måles i det stasjonære referansesystemet S eller i systemet S' som beveger seg med en av bilene.

Når noen av hastigheten blir store og nærmer seg lyshastigheten, må de adderes ved bruk av spesiell relativitetsteori. Dette gir opphav til nye fenomen som relativistisk Doppler-effekt, aberrasjon i astronomien og forandring av lyshastigheten i rennende vann som observert i Fizeau-eksperimentet. Sammen med Michelson-Morley-eksperimentet bekreftet dette Einsteins relativitetsteori. Den viste at man aldri kan overstige lyshastigheten ved å addere den til en annen hastighet.

Galileisk kinematikk

For å beskrive bevegelsen til en partikkel behøver man et referansesystem som man kan kalle Σ Man kan da tilordne partikkelen en posisjon r(t ) som varierer med tiden t. Den har derfor hastigheten u = d r/dt  i dette systemet. Sett fra et annet system Σ'  med origo r₀ vil partikkelen ha en posisjon r'(t ) gitt ved r = r₀ + r' . Dermed vil også hastigheten u' til partikkelen kunne bli forandret når den observeres i Σ'. Sammenhengen mellom de to hastighetene følger i alminnelighet fra relasjonen

$\mathbf {u} ={d\mathbf {r} \over dt}=\mathbf {u'} +\mathbf {v}$

der v = d r₀/dt  har hastighten til Σ'  relativt til Σ. Dette representerer addisjon av to hastigheter. I det spesielle tilfellet at Σ er et treghetssystem og hastigheten v er konstant, vil Σ' også være et treghetssystem. Dette ligger til grunn for det galileiske relativitetsprinsippet.

Når man benytter kartesiske koordinatsystem med parallelle akser i de to referansesystemene, kan man lett uttrykke komponentene til de to hastighetene. Spesielt enkel blir denne sammenhengen når bevegelsen av Σ' relativt til Σ foregår langs en av koordinataksene. Velges dette å være x-aksen som man tar i samme retning som hastigheten v, har man

$u_{x}=u'_{x}+v,\;\;u_{y}=u'_{y},\;\;u_{z}=u'_{z}$

Den longitudinale komponenten langs hastigheten v forandres, mens de transverse komponentene vinkelrett på denne forblir uforandret.

Fiktiv tyngdekraft

Hvis hastigheten v varierer med tiden, vil referansesystemet Σ'  ha en akselerasjon dv/dt  relativt til Σ. Den totale akselerasjonen partikkelen har i Σ er da

$\mathbf {a} ={d\mathbf {u} \over dt}=\mathbf {a'} +{d\mathbf {v} \over dt}$

hvor a' er akselerasjonen den har i Σ'. Hvis ingen krefter virker på partikkelen, sier Newtons andre lov at den har akselerasjonen a = 0 i Σ. Men observert i det akselererte referansesystemet vil den likevel ha en akselerasjon

$\mathbf {a'} =-{d\mathbf {v} \over dt}$

Når partikkelen har masse m, vil dette tilsvare en fiktiv kraft F'  = -m dv/dt  som har samme egenskaper som en tyngdekraft. Dette kan man oppleve i en heis som starter opp eller en bil som bråbremser.

Roterende referansesystem

Addisjon av hastigheter opptrer også når man betrakter en partikkel fra et roterende referansesystem Σ'. Med bruk av kartesiske koordinater kan posisjonsvektoren r(t ) til partikkelen uttrykkes ved de tre koordinatene (x,y,z) i Σ eller (x',y',z' ) i Σ' som

$\mathbf {r} (t)=\sum _{k=1}^{3}x_{k}(t)\mathbf {e} _{k}=\sum _{k=1}^{3}x'_{k}(t)\mathbf {e'} _{k}(t)$

hvor basisvektorene e'_k  i det roterende systemet Σ' varierer med tiden når de observeres fra det stasjonære systemet Σ. Når rotasjonen til Σ' er gitt ved en rotasjonshastighet ω, vil bevegelsene til basisvektorene være gitt ved

${d\mathbf {e'} _{k} \over dt}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {e'} _{k}$

på samme måte som for vektorer i et stivt legeme. Hastigheten til partikkelen i det stasjonære systemet kan nå uttrykkes ved dens bevegelse i det roterende systemet,

$\mathbf {u} ={d\mathbf {r} \over dt}=\sum _{k=1}^{3}{dx_{k}(t) \over dt}\mathbf {e} _{k}=\sum _{k=1}^{3}{\Big (}{dx'_{k}(t) \over dt}\mathbf {e'} _{k}+x'_{k}(t){d\mathbf {e'} _{k} \over dt}{\Big )}$

Mens dx_k/dt er komponentene til hastigheten u i Σ, har partikkelen hastigheten u'  i Σ' med komponentene dx'_k/dt. På mer symbolsk form kan man derfor skrive

$\mathbf {u} ={d\mathbf {r} \over dt}={\Big (}{d' \over dt}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\Big )}\mathbf {r}$

hvor d' /dt er den tidsderiverte i det roterende systemet. Hastigheten til partikkelen i de to referansesystemene er derfor forbundet ved

$\mathbf {u} =\mathbf {u'} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r'}$

der r' er posisjonsvektoren r uttrykt ved komponentene den har i Σ'.

En tilsvarende beregning av akselerasjonen til partikkelen gir på samme måte

$\mathbf {a} ={d\mathbf {u} \over dt}={\Big (}{d \over dt'}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\Big )}\mathbf {u}$

som gir

$\mathbf {a} =\mathbf {a'} +2\,{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u'} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r'} )$

Her er a' akselerasjonen partikkelen har Σ'. De to andre leddene på høyre side gir opphav til Coriolis-kraften og sentrifugalkraften i dette ikke-inertielle referansesystemet.

Ikke-relativistisk Doppler-effekt

Doppler-effekt for en bevegelig kilde. I dette tilfellet forandres den observerte bølgelengden som er gitt ved avstanden mellom bølgetoppene.

En harmonisk bølge langs x-aksen med hastighet u og vinkelfrekvens ω, kan beskrives ved funksjonen cos(kx - ωt) i et stasjonært system Σ. Her er bølgetallet k = ω/u = 2π /λ  når det uttrykkes ved bølgelengden λ.

For en observatør i et system Σ' som beveger seg med hastighet v langs x-aksen, vil bølgen se litt annerledes ut. Ved å benytte transformasjonen x = x' + vt  finner man den nye bølgefunksjonen cos(k(x'  + vt) - ωt) = cos(k x'  - ω' t). Den viser at bølgetallet forblir det samme, mens frekvensen er forandret til

$\omega '=\omega -kv=\omega (1-v/u)$

Denne formelen for frekvensforandringen uttrykker Doppler-effekten ved små hastigheter, for eksempel ved observasjon av lydbølger. Da bølgetallet er uforandret, er hastigheten til bølgen i det bevegelige systemet

$u'={\omega ' \over k'}={\omega \over k}(1-v/u)=u-v$

på samme måte som for partikler.

Man kan nå bruke dette resultatet til å finne den mer kompliserte Doppler-effekten når både bølgekilden og observatøren beveger seg. Hvis kilden befinner seg i Σ' som beveger seg med hastighet v_s  og emitterer bølger med en frekvens ω_s  i dette systemet, vil de ha frekvensen

$\omega ={\omega _{s} \over 1-v_{s}/u}$

i det stasjonære systemet Σ. Men hvis nå denne bølgen observeres i et tredje referansesystem som beveger seg med hastighet v_o  relativt til Σ, vil en observatør der finne frekvensen

$\omega _{o}=\omega (1-v_{o}/u)=\omega _{s}{1-v_{o}/u \over 1-v_{s}/u}$

For denne ikke-relativistiske Doppler-effekten er derfor den observerte frekvensen generelt ikke en funksjon av den relative hastigheten mellom kilde og observatør, men avhengig av dem begge separat. Men når hastigheten til kilden er mye mindre enn bølgehastighten u, finner man tilnærmet

$\omega _{o}=\omega _{s}{\Big (}1-{v_{o}-v_{s} \over u}{\Big )}$

hvor kun den relative hastigheten inngår. I alminnelighet vil også resultatet avhenge av bevegelsesretningene til kilde og observatør.

Relativistiske hastigheter

Newton formulerte sine mekaniske lover basert på at man hadde samme, «universelle tid» i alle referansesystem. Dette viste Einstein ikke var i overensstemmelse med sin utvidelse av relativitetsprinsippet til å gjelde for alle fysiske lover. Da er lyshastigheten ikke lenger avhengig av hastigheten til lyskilden, og man må benytte en spesifikk tid i hvert referansesystem. Dette fører til at koordinatene som forbinder to inertialsystem ikke lenger er forbundet med hverandre som i galileisk kinematikk, men uttrykkes ved Lorentz-transformasjonene i relativitetsteorien. Når inertialsystemet Σ' beveger seg med konstant hastighet v langs x-aksen, tar de formen

${\begin{aligned}t&={t'+vx'/c^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\\x&={x'+vt' \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\end{aligned}}$

som viser at tid og romkoordinaten i denne retningen blandes sammen ved transformasjonen. De to transverse koordinatene y og z forblir uforandret.

Da de samme uttrykkene gjelder for de infinitesemale koordinatforskjellene dt  og dx , finner man med en gang sammenhengen mellom de longitudinale hastighetskomponentene for en partikkel i de to systemene

$u_{x}={dx \over dt}={dx'+vdt' \over dt'+vdx'/c^{2}}={u'_{x}+v \over 1+u'_{x}v/c^{2}}$

Dermot tar transformasjonen av en transvers komponent en litt annen form

$u_{y}={dy \over dt}={u'_{y}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}} \over 1+u'_{x}v/c^{2}}$

og på samme måte for z-komponenten.

Disse uttrykkene beskriver addisjon av hastigheter i spesiell relativitetsteori og kan benyttes til å forklare aberrasjon i astronomien. I denne forbindelse betrakter man en lyspartikkel eller fotonet som beveger seg med lyshastigheten c. Hvis det for eksempel beveger seg i stjernens referansesystem Σ'  i xy-planet med en retning som danner vinkelen θ'  med x-aksen, vil hastigheten ha komponentene. u'_x = c cosθ'  og u'_y = c sinθ' . De tilsvarende komponentene er dermed

$u_{x}={c\cos \theta '+v \over 1+v\cos \theta '/c},\;\;\;u_{y}={c\sin \theta '{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}} \over 1+v\cos \theta '/c}$

når partikkelen observeres i Σ hvor den har en litt annen retning som finnes fra tanθ = u_y/u_x. Men også her har den samme, totale hastighet da u_x² + u_y² = c². I spesiell relativitetsteori kan man aldri overstige lyshastigheten ved addisjon av to relativistiske hastigheter.

Lysbølger

Lys som observeres mot bevegelsesretningen til kilden, er i alminnelighet blåforskjøvet.

En harmonisk lysbølge i tre dimensjoner med bølgelengde λ kan beskrives ved den periodiske funksjonen cos(k⋅x - ωt) hvor k = 2π /λ  er bølgetallet, ω = kc  er vinkelfrekvensen og bølgevektoren k = k n når den beveger seg i en retning gitt ved enhetsvektoren n.

Argumentet i den periodiske funksjonen angir hvor mange bølgetopper som passerer et visst sted i løp et av en bestemt tid slik at det har samme verdi i alle inertialsystem. Det er derfor en invariant under Lorentz-transformasjoner. Det betyr at k^μ = (ω/c, k) er en firevektor siden x^μ = (ct,x) er en firevektor slik at det indreproduktet k^μ⋅x_μ er Lorentz-invariant.

Dette betyr at hvis man observerer lysbølgen fra et annet inertialsystem Σ' som beveger seg relativt til Σ med hastigheten v langs-x-aksen, så vil ω/c  og bølgetallet k_x  i denne retningen transformere på samme måte som ct og x. Hvis man i det merkete systemet observerer k'_x = ω'  cosθ' /c og k'_y = ω ' sinθ' /c, vil man i Σ-systemet finne komponentene

$k_{x}=\gamma (k'_{x}+v\omega '/c^{2}),\;\;\;k_{y}=k'_{y}$

hvor Lorentz-faktoren 1/γ = √(1 - v²/c²). Uttrykt ved vinklene, gir dette

$\omega \cos \theta =\gamma \omega '(\cos \theta '+v/c),\;\;\;\omega \sin \theta =\omega '\sin \theta '$

med frekvensen

$\omega =\gamma \omega '(1+v\cos \theta '/c)=\omega '{1+v\cos \theta '/c \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Mens de to første ligningene gir aberrasjonsvinkelen

$\tan \theta ={\sin \theta ' \over \cos \theta '+v/c}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},$

er forandringen av frekvensen et uttrykk for den relativistiske Doppler-effekten. Hvis lyset blir mottatt langs x-aksen slik at θ'  = θ = 0°, blir

$\omega =\omega '{1+v/c \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=\omega '{\sqrt {1+v/c \over 1-v/c}}$

som er den «longitudinale» effekten. Når v << c går dette resultatet over i det ikke-relativistsiske uttrykket hvor nå v er den relative hastigheten mellom observatør og lyskilde.

I det andre spesialtilfellet blir lyset mottatt vinkelrett på hastigheten v og gir opphav til den «transversale» Doppler-effekten.. Da er cosθ  = 0 som betyr at det må emitteres med en vinkel som oppfyller cos θ'  = -v/c. Den observerte frekvensen blir dermed

$\omega =\omega '{1-v^{2}/c^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=\omega '{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

og er alltid mindre enn den utsendte frekvensen. Dette er en rødforskyvning som tilsvarer en ren tidsdilatasjon hvor lyset i Σ' observeres som en klokke som går litt langsommere.

Thomas-presesjon

Relativistiske effekter eller korreksjoner som involver hastigheter v << c, er vanligvis av størrelsesorden v²/c² og derfor små. Et viktig unntak et Thomas-presesjonen som ble klarlagt i forbindelse med oppdagelsen av spinnet til elektronet og dets effekt på finstruktur i atomfysikken. Den skyldes at to påfølgende Lorentz-transformasjoner med forskjellige retninger v₁ og v₂ ikke tilsvarer en enkelt transformasjon med hastigheten v₁ + v₂, men må tilføyes en ekstra rotasjon.

For en ikke-relativistisk partikkel med hastighet v og akselerasjon a kan denne presisjonen uttrykkes ved Thomas-frekvensen

${\boldsymbol {\omega }}_{T}=-{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {a}$

som beskriver denne ekstra rotasjonen av partikkelens hvilesystem. Når partikkelen går i en sirkulær bane med radius r og med vinkelfrekvens ω slik at v = ωr, blir

$\omega _{T}=-{v^{2} \over 2c^{2}}\omega$

For energinivåene i hydrogenatomet er denne effekten av størrelsesorden av v²/c² og derfor like viktig som andre, relativistiske korreksjoner til elektronets bevegelse.