Relativistisk Doppler-effekt

Relativistisk Doppler-effekt beskriver hvordan frekvensen eller bølgelengden for lys eller annen elektromagnetisk stråling forandres ved at lyskilden eller mottageren beveger seg relativt til hverandre. I den akustiske Doppler-effekten inngår både hastigheten til lydkilden og hastigheten til mottageren som måler frekvensen av lyden. Samme relativhastighet mellom kilde og mottager gir i alminnelighet ikke samme frekvensforskyving. Det skyldes at hastighetene måles i forhold til mediet (luften) som lydbølgen beveger seg gjennom. Luften er en eter for lydbølgene. Hvis det fantes en eter for lysbølger, ville man for dem forvente en lignende Doppler-effekt som for lyd. Det er aldri blitt observert.

Fjerner lyskilden seg fra mottageren, oppstår det en rødforskyvning. Motsatt oppstår det en blåforskyvning når lyskilden nærmer seg mottageren.

I den spesielle relativitetsteorien er det ingen eter og lyshastigheten er den samme i alle inertialsystemer. Albert Einstein viste i 1905 at Doppler-forskyvningen kun avhenger av den relative hastighet mellom kilde og mottager. Denne symmetrien er en direkte konsekvens av at også oppfatning av tid er forskjellig for forskjellige observatører og kommer til uttrykk ved tidsdilatasjonen i den spesielle relativitetsteorien.

Longitudinell effekt

Man kan først anta at lyskilden beveger seg med hastighet v langs den positive x-aksen mot mottageren som er lokalisert på denne aksen. Etter å ha mottatt en bølgetopp, må han vente en tid T_R til han mottar neste. Nå er c - v den relative hastigheten mellom kilde og mottager slik at (c - v)T_R = λ'  er bølgelengden han ser at lyset har. Frekvensen til det observerte lyset er ν' = c/λ'  som nå blir

$\nu '={1 \over 1-v/c}{1 \over T_{R}}$

Nå er tiden T_R mellom to bølgetopper målt i et inertialsystem hvor mottageren er i ro og kilden beveger seg. På grunn av tidsdilatasjonen tilsvarer det tiden T = T_R /γ i et system hvor kilden ligger i ro og γ = 1/√(1 - v²/c²) er den berømte Lorentz-faktoren. Men tiden T  mellom to bølgetopper i dette systemet er direkte gitt ved frekvensen ν = 1/T . Innsatt gir det den observerte frekvensen

$\nu '={{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}} \over 1-v/c}\,\nu ={\sqrt {1+v/c \over 1-v/c}}\,\nu$

for mottageren som ser lyskilden nærme seg. Som ventet er den større enn hvilefrekvensen. Faktoren foran ν som gir denne Doppler-forskyvningen, kalles noen ganger for K-faktoren og danner grunnlaget for K-kalkulus.

Bevegelig mottager

I dette tilfellet kan man tenke seg at lyskilden sitter i ro i x = 0, mens mottageren nærmer seg med hastighet v. Er perioden til det utsendte lyset T i dette referansesystemet, så er frekvensen ν = 1/T og bølgelengden λ = cT. Perioden T er tiden mellom utsendelsen av to bølgetopper som ankommer mottageren med en tidsforskjell T_S  observert i kildens hvilesystem. Denne kan beregnes fra sammenhengen λ = (c + v)T_S siden relativhastigheten mellom en bølgetopp som blir sendt ut og mottageren som nærmer seg, nå er c + v.

Frekvensen av lyset som mottageren registrerer, er gitt som ν' = 1/T'  hvor tiden T' er tiden mellom to bølgetopper målt i hans eget inertialsystem. Igjen fra formelen for tidsdilatasjon følger at T' = T_S /γ som nå gir den observerte frekvensen

$\nu '={1+v/c \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,\nu ={\sqrt {1+v/c \over 1-v/c}}\,\nu$

Det er det samme resultatet som for bevegelig kilde. Frekvensforsandringen kalles for den longitudinelle Doppler-effekten da mottageren beveger seg direkte mot lyskilden. For lys avhenger den kun av den relative hastigheten mellom lyskilde og mottager.

Utledning fra Lorentz-transformasjonen

Lys med perioden T blir sendt ut fra kilden i origo x = 0 og blir mottatt med periode T'  av observatøren som nærmer seg origo.

Det er interessant å se hvordan dette resultatet for Doppler-forskyvningen følger fra Lorentz-transformasjonen. I det siste tilfellet med bevegelig mottaker, vil dennes avstand fra origo være x = x₀ - vt  hvor x₀ er avstanden ved tiden t = 0. Ved dette tidspunktet blir første bølgetopp sendt ut fra origo og ved tiden t = T sendes den neste. Derfor kan man betrakte T som perioden til lyset målt i dette referansesystemet som er lyskildens hvilesystem. Ankomsten av de to bølgetoppene hos mottakeren er hendelsene 1 og 2 i figuren til høyre.

Den første bølgetoppen ankommer ved mottakeren ved tiden t₁ etter å ha tilbakelagt en strekning x₁ = ct₁ . Men samtidig er x₁ = x₀ - vt₁  slik at t₁ = x₀/(c + v). Den andre bølgetoppen blir sendt ut T sekunder senere og ankommet mottakeren ved tiden t₂ . Den har derfor tilbakelagt x₂ = c(t₂ - T)  meter. Herfra kan t₂ beregnes på samme måte som for t₁. Differansen T_S = t₂ - t₁ = T/(1 + v/c)  mellom de to ankomsttidene stemmer med hva som ble utledet over.

Fra disse koordinatene i det stasjonære inertialsystemet kan man nå beregne de samme ankomsttidene målt av mottageren i hans hvilesystem ved bruk av Lorentz-transformasjonen. Den første bølgetoppen ankommer derfor ved den lokale tiden

$t'_{1}=\gamma (ct_{1}+vx_{1}/c)$

hvor den negative hastigheten -v inngår da mottageren her beveger seg mot origo. Innsetning av resultatene for t₁ og x₁ gir etter litt ordning at ct₁' = γ(vx₀ /c + ct₁(1 - v²/c²)). Et tilsvarende resultat finnes for t₂'  uttrykt ved t₂ . I mottagerens hvilesystem er nå

$T'=t_{2}'-t_{1}'=\gamma {1-v^{2}/c^{2} \over 1+v/c}\,T={\sqrt {1-v/c \over 1+v/c}}\,T$

perioden til lyset da det er tiden mellom to bølgetopper. Den er kortere enn perioden i kildens hvilesystem og tilsvarer derfor en høyere frekvens ν' = 1/T' . Dette er i overensstemmelse med resultatet funnet over fra en mer intuitiv beregningsmetode.

Generell Doppler-effekt

I det mer generelle tilfellet vil lysbølgene bevege seg i en annen retning enn det mottageren eller kilden gjør. En plan lysbølge i det stasjonære referansesystemet med bølgelengde λ er beskrevet ved det elektriske feltet

$\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)$

hvor E₀ er en konstant vektor. Retningen til bølgen er gitt ved bølgevektoren k hvor k = |k| = 2π/λ er bølgetallet, mens ω = 2πν er vinkelfrekvensen med ν = c/λ. Fasen k⋅x - ωt inneholder informasjon om hvor mange bølgetopper passerer et punkt i tidrommet med disse koordinatene. I det følgende er det enklest å anta at bølgevektoren ligger i (x,y) - planet og danner vinkelen θ med x-aksen. Da er k⋅x = k_xx + k_yy hvor komponentene er k_x = k cosθ og k_y = k sinθ.

Man kan nå betrakte denne bølgene fra det bevegelige intertialsystemet som beveger seg med hastighet v langs x-aksen. Det fjerner seg altså lyskilden. Forandringen av fasen kan finnes ved å innføre de Lorentz-transformerte uttrykkene for t og x. Det gir

$\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t=\gamma k_{x}(x'+vt')+k_{y}y-\omega \gamma (t'+vx'/c^{2})$

Dette kan skrives som k'⋅x' - ω' t'  hvis man innfører de transformerte størrelsene

$\omega '=\gamma (\omega -vk_{x})\,,\;\;\;k_{x}'=\gamma (k_{x}-v\omega /c^{2})$

sammen med k'_y = k_y da den transverse koordinaten y forblir uforandret. I det bevegelige referansesystemet ser man derfor også en plan lysbølge, men med litt andre verdier for frekvens og bølgevektor.

Ved å benytte at k = ω/c i uttrykket for den transformerte frekvensen, ser man at denne kan skrives som

$\omega '={1-(v/c)\cos \theta \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,\omega$

Dette generelle resultatet kan utledes mye mer direkte ved bruk av kovariant relativitetsteori.

Fra uttrykket for k'_x = k cosθ'  hvor k' =ω'/c, finnes nå også sammenhengen mellom retningen til bølgen i de to inertialsystemene,

$\cos \theta ={\cos \theta '+v \over 1+(v/c)\cos \theta '}$

Denne gjør det mulig å uttrykke frekvensforskyvningen ved vinkelen θ'  i det bevegelige systemet,

$\omega ={1+(v/c)\cos \theta ' \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,\omega '$

som ikke er noe annet enn den inverse transformasjonen fra det bevegelige systemet til det stasjonære. Disse formlene er de generelle uttrykk for den «relativistiske Doppler-effekten».

Man kan nå se på noen spesielle tilfeller. Ved å sette θ = 0, finner man igjen det tidligere resultatet for den longitudinelle effekten i dette tilfellet hvor mottageren fjerner seg og ser en rødforskyvning ω' < ω av lyset. Dette resultatet må være ekvivalent med at en lyskilde i det bevegelige systemet sender ut en bølge med frekvens ω'  bakover mot mottakeren i det stasjonære systemet ved x = 0. Da må θ' = π  som i den siste formelen igjen gir ω < ω' . Som ventet er dette den samme rødforskyvningen.

Transversell effekt

Når lyset observeres vinkelrett på bevegelsesretningen, er det rødforskjøvet.

Den transverselle Doppler-effekten opptrer når det utsendte lyset blir registrert vinkelrett på mottakerens bevegelsesretning. Hvis vinkelen θ = π/2, vil det beskrive en slik situasjon hvor en bevegelig kilde med egenfrekvens ω'  sender ut lys. I det stasjonære systemet blir dette lyset da observert med frekvensen

$\omega =\omega '{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

som igjen er en rødforskyving ω' < ω . Denne transverselle effekten er ikke noe annet enn en tidsdilatasjon. Mottageren ser lyskilden i bevegelse og vil derfor se alle elektromagnetiske svingninger i den foregå langsommere. På samme måte hvis man setter θ' = π/2, vil det gi den observerte frekvensen i det bevegelige systemet når lyset blir sendt ut med frekvens ω i det stasjonære referansesystemet. Man ser da at ω' < ω med den samme rødforskyvningen.

Effekten kan påvises eksperimentelt ved å betrakte emisjon av lys fra ioner i sirkulær bevegelse i en partikkelakselerator eller ved å registrere radiosignal fra en satellitt i banebevegelse omkring Jorden. I dette siste tilfellet må man også ta hensyn til den gravitasjonelle rødforskyvningen som er en konsekvens av generell relativitsteori.

Aberrasjon

Mens retningen til lysbølgen i det stasjonære systemet er gitt ved vinkelen θ, vil retningen i det bevegelige systemet være litt annerledes og bestemt ved vinkelen θ' . Sammenhengen mellom disse to kan nå finnes ved å beregne tanθ' = k'_y/k'_x . Det gir

$\tan \theta '={\sin \theta {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}} \over \cos \theta -v/c}$

og er den relativistiske formelen for aberrasjon. Man kan skrive om dette uttrykket på den mer symmetriske formen

$\tan {\theta ' \over 2}={\sqrt {1+v/c \over 1-v/c}}\,\tan {\theta \over 2}$

Dette er en effekt som er viktig ved observasjoner innen astronomi hvor bevegelsen av Jorden vil påvirke de målte verdiene for retningene til forskjellige objekter eller hendelser ute i Universet.

Litteratur

• W. G. V. Rosser, Introduction to Special Relativity, Taylor & Francis Ltd, London (1991). ISBN 0-85066-839-7.
• H. D. Young and R. A. Freedman, University Physics, Addison Wesley, New York (2004). ISBN 0-321-20469-7.