St. Petersburg-paradokset

St. Petersburg – paradokset er et tankeeksperiment over et spill, hvor den forventede vinning (forventningsverdi) er uendelig stor, mens man egentlig ikke har noe særlig sjanser til å vinne stort allikevel.

Scenario

Tenk deg et spill hvor en mynt blir kastet inntil den første kronen vises. Vi vinner 2 kroner om den vises på første kast, 4 kroner om den vises på andre kast, og generelt $2^{k}$ kroner om den vises på det k'te kastet.

For å få være med i spillet må man betale en avgift, la oss si 1000 kroner.

Utregning av forventet vinning

La oss kalle det vi vinner for X (som da er en stokastisk variabel). Sannsynlighetsfunksjonen er da $p_{X}(k)=P(X=k)={\frac {1}{2^{k}}}$ der k er et naturlig tall (dette sier at sannsynligheten for la oss si en premie på 16 kroner er ${\frac {1}{2^{4}}}=6,25\%$).

Da har vi, ifølge regler for forventningsverdi, at (forventningsverdien) $E(X)=\sum _{\text{alle k}}{2^{k}p_{X}(k)}=\sum _{\text{alle k}}{2^{k}{\frac {1}{2^{k}}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{1}$. En ser lett at denne rekken divergerer (se forøvrig divergens) (altså blir uendelig).

Dermed kan vi forvente oss en premie på uendelig mange kroner. Og da er det vel ingen smal sak å betale 1000 kroner for å delta?

Problem

Det er et problem med dette. Ingen vil vel betale 1000 kroner for å være med på et slikt spill, når sannsynligheten for å vinne tilbake pengene er veldig liten. (tenk for eksempel på at sannsynligheten for å kaste 10 mynt etterhverandre er $\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{10}\approx 0.0977\%$). Og det er jo faktisk nødvendig å kaste 10 mynt etterhverandre, da dette gir en premie på $2^{10}=1024$ kroner.

Teori

En vanlig teori på dette paradokset, eller problemet, er vår (menneskets) manglede evne til å se for oss små sannsynligheter for å vinne veldig store summer.