Forventning

Flere betydninger:Forventning (psykologi)

Forventning eller forventningsverdi er en størrelse innen sannsynlighetsregning. Forventningen til en stokastisk variabel er en verdi, slik at hvis man gjentar eksperimentet som ligger til grunn for variabelen mange ganger, vil gjennomsnittet av utfallene nærme seg forventningen. I det diskrete tilfellet er forventningen lik summen av sannsynligheten for hvert utfall, multiplisert med verdien av dette utfallet.

For en stokastisk variabel X, skriver man E[X] for forventningsverdien til X.

Definisjon

Forventningsverdien til en diskret stokastisk variabel

Hvis X er en diskret stokastisk variabel, og antar verdiene x₁, x₂, ... med sannsynlighet henholdsvis p₁, p₂, ... så er forventningsverdien E(X) gitt ved

$E(X)=\sum _{i}x_{i}p_{i}.$

Hvis X kan anta tellbart uendelig mange forskjellige verdier, er denne summen en uendelig rekke. I dette tilfellet eksisterer forventningsverdien E[X] bare hvis denne rekken konvergerer absolutt.

Forventningsverdien til en stokastisk variabel med tetthetsfunksjon

Hvis en stokastisk variabel X har tetthetsfunksjon f(x), er forventningsverdien gitt ved

$E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx.$

Forventningsverdien eksisterer bare hvis integralet $\int _{-\infty }^{\infty }\left|x\right|f(x)dx$ konvergerer.

Generell definisjon

Generelt blir forventningsverdien definert som følger: Hvis X er en P-integrerbar stokastisk variabel fra et sannsynlighetsrom (Ω, Σ, P) til $({\overline {\mathbb {R} }},B)$, der B er den borelske σ-algebra over ${\overline {\mathbb {R} }}$ så defineres

$E(X)=\int _{\Omega }XdP.$

Empirisk forventning

Den empiriske motsatsen til forventning er gjennomsnittet. Forventning estimeres ofte ved gjennomsnitt og trimmet gjennomsnitt og for symmetriske fordelinger også ved medianen.

Egenskaper

Forventning er en lineær operator, så for vilkårlige konstanter $a$ og $b$ og en stokastisk variabel $X$ gjelder

$E[aX+b]=aE[X]+b.$

Eksempler

Et eksempel på en diskret stokastisk variabel er gjennomsnittsresultatet av en lang serie med kast (100 eller flere) med en terning med 1-6 «øyne» på sidene. Er terningen rett, dvs. riktig balansert, har hver av sidene sannsynligheten 1/6 for å vises. Forventet antall øyne blir da 1/6 x 1 + 1/6 x 2 + 1/6 x 3 + 1/6 x 4 + 1/6 x 5 + 1/6 x 6 = 3,5.