Maupertuis’ virkningsprinsipp

Maupertuis' virkningsprinsipp eller prinsippet om minste virkning ble fremsatt av den franske naturviter Pierre Louis Maupertuis og den sveitsiske matematiker Leonhard Euler i 1744 og skulle beskrive all bevegelse i Naturen. Det er et av mange virkningsprinsipp i fysikken og var inspirert av Fermats prinsipp for bevegelse av lys. Mens Maupertuis betraktet prinsippet som et uttrykk for en guddommelig perfeksjon i Naturen, så Euler heller på det som en formulering av de mekaniske lovene for partikkelbevegelse som gjorde det mulig for han å benytte sin nye variasjonsregning. Denne benyttet han også for å studere bevegelsen til utstrakte legemer og flytende væsker. Både Maupertuis og Euler visste at virkningen ikke alltid måtte være minimal. For noen situasjoner kan den også anta en maksimal verdi. Derfor er det mer korrekt å si at virkningen må ha en ekstremalverdi, et minimum eller et maksimum.

Dette prinsippet har spilt en viktig rolle i utviklingen av klassisk mekanikk, men er i dag erstattet av det mer generelle Hamiltons virkningsprinsipp. Det har gjort det klart at den dypere årsak som ligger bak denne naturloven, ikke er noen guddommelig styrelse, men derimot en direkte konsekvens av kvantemekanikken som formulert av den amerikanske fysiker Richard Feynman. De kvantemekaniske lover som virker på mikroskopisk nivå resulterer i at den klassiske bevegelsen på makroskopisk nivå foregår slik at den har en ekstremal virkning.

Historie

Den franske videnskapsmann Pierre Louis Maupertuis var også filosofisk anlagt, noe som var vanlig på den tiden. I sin bestrebelse etter å forstå Naturen så han en mulighet til å utvide Fermats prinsipp for lysets gang til å gjelde også for bevegelse til partikler. Prinsippet sier at lys alltid beveger seg langs den banen hvor det bruker kortest tid mellom to gitte punkt. Lys var på den tiden ment å være en strøm av små partikler. Descartes hadde utledet Snells brytningslov ved å anta at disse beveget seg raskere i et tett medium som vann enn i et tynt medium som luft. Basert på denne antagelsen definerte han da virkningen for en partikkel med masse m og hastighet v som mvs hvis den beveger seg et stykke s med denne hastigheten. På den måten skulle prinsippet være gyldig også for vanlige partikler og all annen bevegelse i Naturen. Dette arbeidet som ble publisert i 1744, er bredt filosofisk anlagt uten noen matematiske anvendelser.

To år senere publiserer Maupertuis et nytt arbeid over samme tema. Her betrakter han blant annet støt mellom to kuler som beveger seg langs en rett linje. Ved en beregning som i ettertid er forblitt uforståelig, viser han da med bruk av enkel matematikk at virkningen virkelig har et minimum som gir de allerede kjente resultatene for denne prosessen.

Men samtidig med hans første arbeid hadde den store, sveitsiske matematiker Leonhard Euler allerede publisert sitt store arbeid Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes om variasjonsregning. I et appendiks til dette revolusjonerende verket presenterte han prinsippet om minste virkning slik som det brukes i dag og samtidig matematisk presist. På den måten er det Euler som skulle hatt det meste av æren for å ha funnet det og vist hvordan det kan brukes i praksis. Men i sin store generøsitet ga han denne æren helt til Maupertuis.

Matematisk formulering

Virkningen for en partikkel med masse m som beveger seg med hastighet v = ds/dt mellom to punkter A og B er gitt ved integralet

$W=m\!\int _{A}^{B}\!dsv(\mathbf {r} )$

hvor vektoren r  angir posisjonen til partikkelen. Integralet utføres langs en kurve eller bane r(t) som forbinder punktet A hvor partikkelen opprinnelig befinner seg, med punktet B hvor den ender opp. Prinsippet sier at partikkelen vil følge den banen som gir den minste verdien for dette integralet når man sammenligner baner som alle har samme energi. Dette kan gjøres mest systematisk ved bruk av variasjonsregning. Man sammenligner da virkningen for banen r(t) med virkningen for den varierte banen r(t) + δr(t). Den resulterende variasjonen av virkningen skal da være like null,

$\delta W=0\,.$

Dette matematiske kravet betyr da at virkningen er minimal eller maksimal for denne ene banen som da gir den klassiske bevegelsen. Mer presist sier derfor prinsippet at virkningen skal være ekstremal.

Her er virkningen W definert forskjellig fra virkningen S som inngår i Hamiltons virkningsprinsipp. De to definisjonene er nært knyttet til hverandre som først vist av den tyske matematiker Jacobi og bærebjelken i det som kalles Hamilton-mekanikk. På samme måte som disse to forskjellige definisjonene vanligvis bærer samme navn, omtales også de to tilsvarende virkningsprinsippene ofte i dag litt upresist som prinsippene om minste virkning.

I definisjonen for virkningen kan vi skrive at ds = v dt  slik at integranden blir proporsjonal med v² = v⋅v. Da den vektorielle hastigheten v = dr/dt, kan virkningen derfor også skrives som

$W=\int _{A}^{B}\!d\mathbf {r} \cdot \mathbf {p}$

hvor p = mv  er bevegelsesmengden eller impulsen til partikkelen. Dette uttrykket kan lett generaliseres til å gi virkningen for flere partikler.

Hamiltons virkningsprinsipp

Hastigheten v til partikkelen bestemmer dens kinetiske energi T = mv²/2. Befinner den seg i et potensial V = V(r), vil den derfor ha den totale energien E = T + V. Som understreket av Jacobi, skal alle varierte baner som inngår i dette virkningsprinsippet, ha den samme energien E. Men alltid beveger partikkelen seg en infinitesemal veilengde ds = vdt i det infinitesemale tidsintervallet dt. Derfor kan virkningsintegralet også skrives som

$W=m\!\int _{A}^{B}\!dtv^{2}=\int _{A}^{B}2Tdt$

som i stedet inneholder den kinetiske energien T = E - V. Men nå er 2T = E + T - V slik at variasjonen av virkningen blir

$\delta W=\int _{A}^{B}\!dt[\delta E+\delta (T-V)]$

Her er første ledd lik null da δE = 0 fordi energien til den varierte banen må forbli uforandret. Andre leddet inneholder kombinasjonen L = T - V som er Lagrange-funksjonen til partikkelen. Minste virknings prinsipp kan da skrives som

$\delta \int _{A}^{B}\!dt(T-V)=0$

som er akkurat Hamiltons virkningsprinsipp. På denne formen vil det ikke lenger være noen restriksjoner på variasjonene δr som inngår i beregningen bortsett fra at de varierte banene alle må gå gjennom de gitte ytterpunktene A og B.

Fri bevegelse

Hvis partikkelen befinner seg i en del av rommet hvor ingen krefter virker på den, er potentialet V = konst og partikkelen beveger seg fritt med konstant hastighet. I dette spesielle tilfellet forenkles virkningen til

$W=mv\!\int _{A}^{B}\!ds$

Den vil derfor bevege seg slik at veistrekningen s er kortest mulig, det vil si langs en rett linje i overensstemmelse med Newtons første lov. Er partikkelen tvunget til å bevege seg på en krum flate, vil den derfor av samme grunn bevege seg langs en geodetisk kurve på flaten som gir den korteste avstanden mellom de to gitte ytterpunktene til bevegelsen.

For en fri, relativistisk partikkel har virkningen den tilsvarende formen

$W=-mc\!\int _{A}^{B}\!ds$

hvor c er lyshastigheten og ds nå er linjeelementet i Minkowski-rommet. Det kan skrives som ds = cdτ hvis τ betegner egentiden til partikkelen. Prinsippet om minste virkning sier derfor at partikkelen vil bevege seg slik at dens egentid er maksimal.

Ifølge Einsteins generelle relativitetsteori vil partikkelen bevege seg i et gravitasjonsfelt som om den beveger seg fritt gjennom et krumt tidrom. Igjen tilsvarer det en bevegelse som gir maksimal egentid, og partikkelen følger derfor en geodetisk kurve i det 4-dimensjonale tidrommet.

Newtons andre lov

Minste virknings prinsipp er ekvivalent med Newtons andre lov som bestemmer all bevegelse i klassisk mekanikk. Det kan man vise ved å ta hensyn til at de varierte banene r(t) + δr(t) alle må ha samme energi E = mv²/2 + V(r). Variasjonen δr i partikkelens posisjon må derfor medføre en tilsvarende variasjon i dens hastighet gitt ved mvδv = - (∇V)⋅δr da betingelsen δE = 0 må være oppfylt. Variasjonen av Maupertuis' virkning er nå

$\delta W=m\!\int _{A}^{B}\!(\delta ds\,v+ds\,\delta v)$

som kan forenkles ved å skrive det kvadrerte linjeelementet som ds² = dr⋅dr. Derfor er dsδds = dr⋅δdr som betyr at vδds = (dr/ds)(ds/dt)⋅δdr = v⋅δdr  hvor v = dr/dt  er den vektorielle hastigheten. Da δdr = dδr, kan man nå foreta en partiell integrasjon av første ledd i integralet. Under betingelse av at variasjonen δr er null i ytterpunktene A og B, blir da variasjonen av virkningen

$\delta W=-\int _{A}^{B}\!ds{\Big [}m{d\mathbf {v} \over ds}+{1 \over v}{\boldsymbol {\nabla }}V{\Big ]}\cdot \delta \mathbf {r}$

For at denne skal være null for alle variasjoner δr, må parentesen under integraltegnet være null. Det er bare mulig hvis hastigheten til partikkelen oppfyller ligningen mdv/dt = - ∇V. Man ser det ved å benytte at vdv/ds = (ds/dt) dv/ds = dv/dt som er akselerasjonen a til partikkelen. Siden F = - ∇V er kraften som virker på den, er resultatet av variasjonsprinsippet derfor ikke noe annet enn Newtons andre lov F = ma. Da dette er en andre ordens differensialligning, vil løsningen gi sluttposisjonen B som en funksjon av begynnelsesposisjon A, tiden t og energien E til bevegelsen.

Bevegelse som funksjon av tiden

Som ved bruk av Fermats prinsipp for beregning av banen til en lystråle, vil Maupertuis' prinsipp i utgangspunktet kun gi formen til partikkelbanen og ikke hvor raskt partikkelen beveger seg langs denne. Matematisk er disse to virkningsprinsippene ekvivalente hvor brytningsindeksen n  til lyset tilsvarer hastigheten v  til partikkelen gitt ved potensialet V gjennom relasjonen E = mv²/2 + V(r). Virkningen for en ikke-relativistisk partikkel er dermed gitt ved integralet

$W=\int _{A}^{B}\!ds{\sqrt {2m(E-V)}}$

Resultatet av integrasjonen vil være en funksjon av energien E  og posisjonene til de to ytterpunktene A og B. Beregner man så den deriverte av denne funksjonen, finner man at

${\partial W \over \partial E}=\int _{A}^{B}\!{ds \over {\sqrt {(2/m)(E-V)}}}=\int _{A}^{B}\!{ds \over v}=\int _{A}^{B}\!dt$

hvor det siste integralet gir tiden t som partikkelen behøver fra A til B. Denne ligningen gir nå en implisitt sammenheng mellom begynnelsesposisjonen A, sluttposisjonen B og tidsforløpet t og er den samme som ville ha fulgt fra en direkte løsningen av den ekvivalente ligningen til Newton.

Eksempel

Dette virkningsprinsippet egner seg vanligvis ikke til løsning av mer praktiske oppgaver. Til det er ofte Newtons bevegelsesligninger eller Hamiltons virkningsprinsipp mer passende. Men det inneholder de samme fysiske lover, men i en mindre generell formulering. Til beskrivelse av for eksempel kontinuerlige medier og felter strekker det ikke uten videre til. Derimot for enkel partikkelbevegelse er det et mulig alternativ.

Kast av ball

En ball med masse m  beveger seg i xy-planet etter å være kastet ut fra origo med en hastighet v₀  som danner vinkelen θ₀  med y-aksen. Ballen får da i utgangspunktet en energi E = mv₀²/2  som forblir konstant. Den er påvirket av en konstant tyngdekraft slik at dens potensielle energi er V = mgy  hvor g  er tyngdeakselerasjonen. Hastigheten v  er da en funksjon av høyden y til partikkelen og kan skrives som v = v₀√(1 - ay)  hvor konstanten a = mg/E . Den kan derfor nå en maksimal høyde 1/a  som tilsvarer at den blir kastet rett oppover.

Ballen følger en kurve som danner vinkelen θ med y-aksen.

Det forenkler nå beregningen ved å parametrisere banen med denne høydekoordinaten. Da er det infinitesemale veistykket

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=dy{\sqrt {1+x'^{2}}}$

hvor x' = dx/dy  og vist i figuren til høyre. Dermed er Maupertuis' virkning gitt ved integralet

$W=m\int _{A}^{B}\!dyv(y){\sqrt {1+x'^{2}}}$

Dette matematiske problemet er dermed ekvivalent med gangen til lys gjennom et laminart luftlag hvor brytningsindeksen avtar med høyden på samme måte som i hastigheten. Som i det tilfellet, kan man benytte at med denne parametriseringen er x en syklisk koordinat slik at

${\partial \over \partial x'}{\Big (}v{\sqrt {1+x'^{2}}}{\Big )}={vx' \over {\sqrt {1+x'^{2}}}}$

må være konstant. Da x'/√(1 + x'²) = dx/ds = sinθ , betyr det at hastigheten til ballen i x-retning er konstant. Det er jo forventet da ingen krefter virker i den retningen og er den mekaniske utgaven av Snells brytningslov. På den måten har man x'/√(1 + x'²) = sinθ₀/√(1 - ay)  som gir

${dx \over dy}={\sin \theta _{0} \over {\sqrt {\cos ^{2}\theta _{0}-ay}}}$

Dette er en første ordens differensialligning som kan løses ved direkte integrasjon. Resultatet kan skrives som

$y={ax(2x_{0}-x) \over 4\sin ^{2}\theta _{0}}$

hvor x₀ = sin2θ₀ /a er en integrasjonskonstant. Den er bestemt ut fra betingelsen at ballen beveger seg fra origo med hastighet v₀. Løsningen viser at den deretter følger en parabel og når sitt høydepunkt y₀ = cos²θ₀ /a for x = x₀. Den faller ned igjen i en avstand av 2x₀ fra origo.

Harmonisk oscillator

Energien til en harmonisk oscillator med utslag x er E = mv²/2 + kx²/2  hvor k er fjærkonstanten. For en bevegelse fra begynnelsespunktet x = 0 til et vilkårlig punkt x ved et senere tidspunkt, er virkningen gitt ved integralet

$W=\int _{0}^{x}\!dx{\sqrt {2mE-kmx^{2}}}$

Det kan regnes ut ved bruk av forskjellige trigonometriske funksjoner. Men for å beregne utslaget til oscillatoren som funksjon av tiden, må man utføre det enklere integralet

$t={\partial W \over \partial E}=m\!\int _{0}^{x}{dx \over {\sqrt {2mE-kmx^{2}}}}={1 \over \omega }\arcsin {\Big (}{\sqrt {m\omega ^{2} \over 2E}}x{\Big )}$

etter å ha innført ω² = k/m . Utslaget varierer derfor med tiden som

$x(t)={\sqrt {2E \over m\omega ^{2}}}\sin \omega t$

som viser en periodisk svingning med vinkelfrekvens ω. Selv om den starter ved tiden t = 0 med null utslag, har den likevel en hastighet v = dx/dt som er forskjellig fra null på dette tidspunktet og som gir oscillatoren dens energi.

Litteratur

• Ivar Ekeland, The best of all possible Worlds, University of Chicago Press, Chicago (2006). ISBN 0-226-19995-9.
• H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).
• H. Goldstine: A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century, Springer, New York (1980). ISBN 1-4613-8106-8.

Eksterne lenker

• Scolarpedia, Principle of least Action

• Veritasium, This Single Rule Underpins All Of Physics, YouTube video om virkningsprinsippet

Autoritetsdata