Kvadratroten av 2

det tallet som gir 2 når det multipliseres med seg selv
Hvis katetene i en rettvinklet likebeint trekant er 1, vil hypotenusen ifølge Pythagoras’ læresetning være √2.

Kvadratroten av 2 er det tallet som gir 2 når det multipliseres med seg selv. Det er et irrasjonalt tall og symboliseres som (se kvadratrot). Tallet har en tilnærmet verdi på 1,414 213 562 373 095 048 801 688 7… .

Bevis for irrasjonalitetRediger

At kvadratroten av 2 er irrasjonal, kan vises ved hjelp av et kontradiksjonsbevis (som for første gang ble beskrevet av Evklid i det 3. århundre f.Kr.):

Anta at   er et rasjonalt tall. Dermed finnes det to naturlige tall,   og  , slik at  . Vi sier at brøken er forkortet (forenklet) så mye at det ikke går an å forenkle den mer. Om vi kvadrerer på begge sider, får vi  . Vi ser at   er et partall, siden det har   som faktor. Siden da også   er et partall, er   et partall, og vi kan skrive det som  . Da får vi  . Forkorter vi, får vi  , og dermed må   også være et partall (siden det kan skrives som produktet av et heltall og  ), og dermed er også   et partall. Men siden både   og   er partall, så kan faktisk brøken   forkortes mer (siden de begge har   som faktor). Og siden vi har kommet frem til en selvmotsigelse, og bare har gjort én eneste antagelse, er denne antagelsen feil. Og den antagelsen var at   var et rasjonalt tall, og siden det motsatte av dette er at   er irrasjonal, så har vi bevist at kvadratroten av   er et irrasjonalt tall.

Eksterne lenkerRediger