Funktor

Funktorer er tilordninger som kan tenkes på som funksjoner mellom kategorier.

Definisjon

La C and D være kategorier. En (kovariant) funktor F fra C til D er en tilordning som

• til ethvert objekt $X\in C$ tilordner et objekt $F(X)\in D$,
• til enhver morfi $f:X\rightarrow Y\in C$ tilordner en morfi $F(f):F(X)\rightarrow F(Y)\in D$ slik at de følgende krav oppfylles:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ for alle $X\in C$
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ for alle morfier $f:X\rightarrow Y\,\!$ og $g:Y\rightarrow Z.\,\!$

En kontravariant funktor F fra C til D er en tilordning som

• til ethvert objekt $X\in C$ tilordner et objekt $F(X)\in D$,
• til enhver morfi $f:X\rightarrow Y\in C$ tilordner en morfi $F(f):F(Y)\rightarrow F(X)\in D$ slik at de følgende krav oppfylles:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ for alle $X\in C$
  • $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ for alle morfier $f:X\rightarrow Y\,\!$ og $g:Y\rightarrow Z.\,\!$

Funktorer må altså bevare identitetsmorfier og komposisjon av morfier.

Eksempler

I kategorien F-vektorrom for en gitt kropp F er de følgende tilordningene funktorer:

• Tilordning av dualrom V* til et vektorrom V.
• Tilordning av homomorfier inn i og ut av V. Hom(V,–) er kovariant og Hom(-,V) er kontravariant.
• Tilordning av F-tensorprodukt med V.