Carlyle-sirkelen

Carlyle-sirkelen brukes til å gi en geometrisk løsning av andregradsligningen. Dessuten kan den benyttes til konstruksjon av regulære mangekanter.

Allerede i det banebrytende arbeid La Géométrie viste Descartes at røttene til andregradsligningen ax² + bx + c = 0 kunne noen ganger finnes ved en geometrisk konstruksjon. Men denne metoden ga ikke løsningene i det generelle tilfellet.

En forbedret fremgangsmåte ble funnet omtrent to hundre år senere av Thomas Carlyle. Han viste at koeffisientene i ligningen kunne brukes til å definere to punkt. De utgjør endepunktene til en diameter i en sirkel hvis skjæringspunkt med x-aksen er de søkte røttene til ligningen. Denne sirkelen har siden båret navnet til Carlyle.

Konstruksjon rediger

Den generelle andregradsligningen kan skrives som x² - sx + p = 0 hvor s = - b/a og p = c/a. Ved å betrakte punktene A = (0,1) og B = (s,p) som endepunktene til en diameter i en sirkel, kan denne konstrueres. I et kartesisk koordinatsystem er ligningen for sirkelen x(x - s) + (y - 1)(y - p) = 0. Den har skjæringspunkt med x-aksen som finnes ved her å sette y = 0. Dermed fremkommer andregradsligningen slik at dens røtter er gitt ved skjæringspunktene x₁ og x₂.

Da potensen til punktet O i figuren er Ox₁⋅Ox₂ = x₁x₂ = OA⋅OB' = p og skjæringspunktene ligger symmetrisk om sirkelens sentrum M, må man også ha at x₁ + x₂ = s. Disse sammenhengene mellom røttene er i overensstemmelse med den algebraiske løsningen

x_{2,1}={s \over 2}\pm {\sqrt {{s^{2} \over 4}-p}}

Andregradsligningen kan derfor uttykkes ved nullpunktene som x² - sx + p = (x - x₁)⋅(x - x₂) = 0. Når p > 0 ligger begge røttene på samme side av origo som i figuren. Dette er hvor Descartes' metode kan benyttes. I det motsatte tilfellet p < 0 ligger punktet B under x-aksen, og røttene har motsatte fortegn. En forutsetning for at de er reelle, er s² > 4p. Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, vil sirkelen ikke skjære x-aksen og begge røttene er komplekse.

Litteratur rediger

B. Bold, Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover Books, New York (1982). ISBN 0-486-24297-8.