Bue (geometri)

En bue eller boge er i geometri en vilkårlig kontinuerlig del av en kurve.[1] Noen forfattere bruker en strengere definisjon, ved tilleggskrav til kurvesegmentet. En sirkelbue, ofte bare kalt en bue, er en del av en sirkel.

Formell definisjonRediger

Tilsvarende som for en kurve kan en bue defineres basert på en funksjon   fra et reelt intervall   inn i et rom  :

 

Noen forfattere refererer til verdimengden til   som kurven[2], andre til funksjonen  [3]. Hvilke tilleggskrav som stilles til funksjonen   og rommet   varierer med forfatter og sammenheng. Eksempler på tillegskrav kan være

  • Funksjonen   er kontinuerlig.[4] Med en slik definisjon blir begrepene bue og kurve synonyme.
  • Buen er glatt, det vil si er deriverbar og har kontinuerlige deriverte, slik at teori for differensialgeometri gjelder for buen.
  • Funksjonen   er bijektiv, det vil si en en-til-en-avbildning.[3]
  • Funksjonen   er homeomorf og intervalet   er lukket[5]

BuelengdeRediger

Utdypende artikkel: Buelengde

En bue er i det euklidske rommet   definert med en parameterframstilling

 

Buen er glatt når funksjonene  ,   og   er deriverbare og de deriverte er kontinuerlige. For en slik bue er buelengden gitt ved[6]

 

Her betyr merket den deriverte med hensyn på parameteren  , slik at  .

SirkelbuenRediger

 
En grønnfarget sirkelsektor A med en sirkelbue L

En sirkelbue er en del av en sirkel. I klassisk geometri for planet brukes sirkelbuen mye, konstruert ved hjelp av en passer. I denne sammenhengen brukes kortformen «bue» ofte ekvivalent med «sirkelbue». Sirkelbuen har sentrum og radius lik sirkelen den er en del av.

En bue sies å være utspent av en vinkel dersom buen har sentrum i toppunktet til vinkelen og har endepunkt på vinkelbeina.

En sirkelbue kan defineres ved å oppgi sentrum og radius, samt endepunktene til buen. Alternativt kan en gi ett endepunkt og størrelsen på vinkelen som utspenner buen.

Sirkelbuer danner grunnlaget for definisjon av vinkelmålet radian, definert som lengden av en bue utspent av vinkelen, delt på radien til sirkelbuen. Lengden av en sirkelbue   som spenner over en vinkel   målt i radianer er gitt ved

 

når   er radien til buen.

Er vinkelen målt i grader, så er lengden av en bue utspent av vinkelen   gitt ved

 

Vinkelmålet grader kan også deles opp i mindre enheter bueminutt og buesekund.

En sirkelsektor er en del av en sirkel, begrenset av to radier og en sirkelbue. Arealet   av en sirkelsektor er gitt ved

 

Eksterne lenkerRediger

  • www.mathopenref.com Definition and properties of a circular arc. Med interaktiv animasjon. Besøkt 12. desember 2019.

ReferanserRediger

  1. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6.  [Arc]
  2. ^ Hans-Fredrik Aas (1974). Forelesningsreferater i matematisk analyse. II. Bergen: Matematisk institutt, Universitetet i Bergen. 
  3. ^ a b Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-085613-3. 
  4. ^ Ruel V. Churchill, James W. Brown, Roger F. Verhey (1974). Complex analysis. Tokyo: McGraw-Hill Kogakusha. ISBN 0-07-010855-2. 
  5. ^ John G. Hocking, Gail S. Young (1988). Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-65676-4. 
  6. ^ D.J. Struik (1961). Lectures on classical differential geometry. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8.