Barysentriske koordinater

Barysentriske koordinater benyttes til å angi posisjonen av et punkt i planet relativt til de tre hjørnene i en trekant som ligger i det samme planet. Likedan kan de benyttes til å angi posisjonen til et punkt på en linje relativt til endepunktene av et gitt linjestykke langs linjen eller posisjonen til et punkt i det tredimensjonale rommet relativt til de fire hjørnene av et tetraeder.

Et punkt S i planet har barysentriske koordinater (m1, m2, m3) når det er tyngdepunktet for disse massene plassert i hjørnene til trekanten.

Koordinatene ble innført av August Möbius i 1827 og var det første eksempel på bruk av homogene koordinater. Disse ble kort tid senere av stor betydning for en analytisk beskrivelse av projektiv geometri. De må ikke forveksles med de koordinater som benyttes i massesenteret til en samling av mekaniske masser selv om det eksisterer en nær sammenheng. Denne er også uttrykt i navnet barysentrisk som kommer fra det greske βαρύς (barýs) for tung eller massiv.

Flere tiår etter Möbius ble moderne vektorregning utviklet. Det gjorde det klart at hans koordinater opptrer på en naturlig måte i affine vektorrom. De benyttes fremdeles i dag innen spesielle sektorer av moderne datagrafikk.

DefinisjonRediger

I et plan kan de tre hjørnene til et triangel angis ved posisjonsvektorene r1, r2 og r3 i et affint eller euklidsk rom. Hvis man plasserer masser m1, m2 og m3 i de samme punktene, vil massesenteret eller tyngdepunktet for dette systemet befinne seg i en posisjon rS gitt ved

 

Når dette er et mekanisk system, vil de tre massene være positive og massesenteret ligge inne i trekanten. Men Möbius ga denne sammenhengen et mer geometrisk innhold ved å tilordne hvert hjørne xk en abstrakt vekt mk som kunne både være positiv, negativ eller null. I planet vil da de tre tallene (m1, m2, m3) entydig bestemme et tyngdepunkt ved bruk av den samme formelen og derfor sies å være dets koordinater.[1] Hvis en av disse abstrakte massene er null, vil det tilsvarende punktet ligge på den siden i trekanten som forbinder de to hjørnene med masser. Hvis to masser er null, vil tyngdepunktet være i det hjørnet som har masse.

Denne definisjonen kan lett utvides for koordinater i et n-dimensjonalt vektorrom. Man behøver da n + 1 uavhengige posisjonsvektorer r1, r2, ..., rn+1 som definerer hjørnene til et n-dimensjonalt simplex. Hvert punkt i dette rommet kan da angis ved n + 1 barysentriske koordinater (m1, m2, ..., mn+1). I allminnelighet kan disse tilhøre andre tallkropper enn de reelle tallene.[2]

Homogene koordinaterRediger

 
Homogene koordinater for noen punkter utenfor det blå referanse-triangelet med hjørner X1, X2 og X3 I to dimensjoner.

Hvis alle koordinatene (m1, m2, ..., mn+1) multipliseres med en og samme konstant, vil ikke tyngepunktet til massene forandres. Derfor representerer (km1, km2, ..., kmn+1) samme punkt som (m1, m2, ..., mn+1). Slike koordinater sies å være homogene. For å understreke at det kun er deres relative størrelser som betyr noe, angir man homogene koordinater av og til med et kolontegn istedet. Derfor angir man det gjeldende punktet som (m1: m2: m3: ... : mn+1). Av disse n + 1 koordinatene er det derfor bare n som er uavhengige. For punkter i et plan, trenger man bare to som tilsvarer at det er todimensjonalt.[2]

Med denne friheten i de barysentriske koordinatene, er det ofte hensiktsmessig å velge dem slik at de oppfyller

 

og kalles for normaliserte koordinater. De er da ekvivalente med affine koordinater hvor et av hjørnene i simplexet spiller rollen som origo. Med denne normaliseringen vil da for eksempel de tre hjørnene til et referansetriangel i to dimensjoner få de homogene koordinatene (1:0:0), (0:1:0) og (0:0:1) uavhengig av dets form.

Sammenheng med kartesiske koordinaterRediger

Hvis hjørnene i referansesimplexet er angitt i et kartesisk koordinatsystem, kan de barysentriske koordinatene beregnes. For eksempel, i et plan med slike koordinater (x, y) er de tre hjørnene i den brukte trekanten rk  gitt som (xk, yk) for k = 1,2 og 3. De homogene koordinatene for et vilkårlig punkt rS = (xS, yS)  kan da finnes fra

 

når man benytter normaliseringen m1 + m2 + m3 = 1. Da de kartesiske koordinatene for de tre referansepunktene ansees som kjente, er dette et lineært ligningssystem som kan løses for de to ukjente m1 og m2 for hvert punkt rS  i planet.

matriseform kan de to ligningene skrives

 

Deres løsning kan finnes såfremt determinanten

 

er forskjellig fra null. Da den representerer det dobbelte arealet til referansetrekanten, er denne betingelsen allerede oppfylt. Ligningssettet som gir de barysentriske koordinatene, kan derfor skrives på den mer symmetriske måten som

 

da m1 + m2 + m3 = 1 for de normaliserte koordinatene for punkt i den endelige delen av planet. Hvis derimot m1 + m2 + m3 = 0, vil uttrykkene for xS og yS divergere. Tyngdepunktet ligger da uendelig langt bort.[3]

En dimensjonRediger

 
Tyngdepunkt S for to masser m1 og m2 på en linje.

Koordinaten for tyngdepunktet S til to masser m1 og m2 som ligger på en rett linjei i posisjonene x1 og x2, er bestemt ved ligningen

 

Den kan skrives om til

 

Hvis man innfører avstandene ℓ1 = xS - x1 og ℓ2 = x2 - xS, tar den formen

 

Dette uttrykker vektstangprinsippet som sier at dreiemomentet om tyngdepunktet er null når de to massene befinner seg i et tyngdefelt. De to barysentriske koordinatene (m1: m2) for tyngdepunktet er derfor gitt ved forholdet m1/m2 = ℓ2/ℓ1. For punkt S mellom de to referansepunktene x1 og x2 er begge avstandene ℓ1 og ℓ2 positive slik at da vil koordinatene oppfylle m1/m2 > 0.

 
Noen barysentriske koordinater for punkt langs en rett linje.

For midtpunktet mellom de to referansepunktene vil ℓ1 = ℓ2 som tilsvarer m1/m2 = 1. De barysentriske koordinatene for dette punktet er derfor (1:1) som tilsvarer de normaliserte koordinatene (1/2 : 1/2).

Derimot vil en av avstandene ℓ1 og ℓ2 ta negative verdier når tyngdepunktet ligger utenfor referansestrekningen mellom x1 og x2. Forholdet m1/m2 blir derfor negativt i dette tilfellet. Når det ligger til venstre for x1, vil m1/m2 < - 1. I det motsatte fall at punktet ligger til høyre utenfor x2, vil derimot m1/m2 > - 1.

Punkt i det uendeligeRediger

Når m1/m2 = -1 som tilsvarer at de to massene er like store med motsatt fortegn, vil tyngdepunktet S bevege seg ut til uendelig. Når det ligger uendelig langt borte til venstre vil dette tilsvare punktet - ∞, mens det i motsatt fall går mot + ∞ til høyre. Men begge disse punktene har de samme, homogene koordinatene (1:-1) = (-1:1) som tilsvarer at da er m1 + m2 = 0. Så med homogene koordinater finnes det bare et punkt i det uendelig, og man kan ikke skille mellom + ∞ og - ∞. De må identifiseres med hverandre.[4]

Harmonisk konjugert punktRediger

Kalles de to referansepunktene for X1 og X2, er tyngdepunktet S gitt som

 

Det deler linjestykket mellom disse to punktene i forholdet m1/m2. For hvert slikt punkt mellom referansepunktene finnes det et annet, harmonisk konjugert punkt S'  som ligger utenfor linjestykket. Forholdet mellom dets avstander til referansepunktene er det samme, men med motsatt fortegn. Det er derfor gitt som

 

Midtpunktet (1:1) mellom referansepunktene er derfor harmonisk konjugert med punket (1:-1) = (-1:1) i det uendelige.

Koordinater i planetRediger

 
Barysentriske koordinater for noen punkter innen en trekant. De er uavhengige av dens nøyaktige form. For punkter utenfor trekanten er minst en av de tre koordinatene negativ.

Barysentriske koordinater har flest anvendelser i det todimensjonale planet. Det er da hensiktsmessig å betegne dem som (u: v: w) istedenfor (m1: m2: m3). Er referansetrekanten gitt ved hjørnene X1, X2 og X3, kan et vilkårlig punkt P i planet angis ved den affine sammenhengen

 

når man benytter den vanlige normaliseringen u + v + w = 1 for punkter i den endelige delen av planet. De tre hjørnene har derfor de normaliserte koordinatene (1:0:0), (0:1:0) og (0:0:1) som er uavhengige av trekantens form. Punkt som ligger i det uendelig fjerne, har koordinater som oppfyller u + v + w = 0.

En rett linje i planet er i et kartesisk koordinatsystem beskrivet ved den lineære ligningen y = kx + y0. Da sammenhengen mellom de kartesiske koordinatene (x, y) og de tilsvarende barysentriske også er lineær, vil den samme linjen ta formen

 

ved bruk av disse koordinatene. Her er a, b og c  lineære kombinasjoner av de opprinnelige linjekoordinatene (k,y0). De kan multipliseres med en konstant uten at linjen forandres. Derfor er a, b og c  homogene linjekoordinater og skrives som [a: b: c]. Punktene i det uendelig fjerne ligger derfor på en linje med koordinater [1: 1: 1]. En vilkårlig linje med koordinater [a: b: c] vil møte denne i det uendelige punktet (b - c : c - a: a - b). Summen av disse tre koordinatene er null.

Alle punkt på en rett linje mellom X1 og X2 vil ha w = 0. Da vil P = uX1 + vX2 som viser eksplisitt at punktet P ligger på en linje mellom X1 og X2. Likedan vil ligningen u = 0 beskrive linjen mellom X2 og X3 og tilsvarende for linjen v = 0.

Linje mellom to punktRediger

Når man har gitt to punkt P1 = (u1: v1: w1) og P2 = (u2: v2: w2), kan da forbindes med en linje av formen au + bv + cw = 0. Da både koordinatene for P1 og P2 må masse inn i denne, vil linjens koordinater [a: b: c] være gitt ved tre homogene, lineære ligninger. De er en entydig løsning kun når determinanten til koeffisientene til disse tre ukjente er null. Ligningen for linjen følger derfor fra betingelsen

 

Den gir (v1w2 - v2w1)u + (w1u2 - w2u1)v + (u1v2 - u2v1)w = 0 som inneholder de homogene koordinatene til linjen. For en linje mellom hjørnene X1 = (1: 0: 0) og X2 = (0: 1: 0) gir den igjen ligningen w = 0.

Som et annet, enkelt eksempel kan man beregne linjen som går gjennom P1 og trekanthjørnet X1. Den linjen blir w1v - v1w = 0. Tilsvarende former tar ligningene for linjer gjennom de to andre hjørnene.[3]

Skjæringspunkt mellom to linjerRediger

Når to linjer med koordinater [a1: b1: c1] og [a2: b2: c2] skjærer hverandre i den endelige delen av planet vil koordinatene til skjæringspunktet P = (u: v: w) oppfylle normaliseringen u + v + w = 1. Dets tre koordinater vil derfor være løsningen av to homogene pluss en inhomogen ligning som alle tre er lineære. De kan finnes direkte fra bruk av Cramers regel som gir

 

hvor determinanten

 

Hvis linjene er parallelle, er denne lik null og de vil møtes i samme punkt (b1 - c1 : c1 - a1: a1 - b1) i det uendelige. Da er a1 = a2 + k, b1 = b2 + k og c1 = c2 + k hvor k er en felles konstant slik at determinanten blir null.

Ligningen for en linje som går gjennom et gitt punkt og er parallell med en annen linje, kan nå finnes da den vil gå gjennom dennes punkt i det uendelige. Man kan derfor benytte ligningen for linjen mellom to gitte punkt.[2]

ArealkoordinaterRediger

 
Tyngdepunktene til hver av sidene i referanse-trekanten ABC er angitt som L, M og N. De inngår i Cevas setning.

De barysentriske koordinatene i planet kan gis et geometrisk tolkning slik at de kalles arealkoordinater.[3] Hvis de tre hjørnene i referansekantene kalles A, B og C, vil et punkt P kunne angis som

 

Dette uttrykket kan omformes ved å innføre et av tyngdepunktene til en av sidekantene i trekanten. Hvis man for eksempel velger punktet L på siden motsatt hjørnet A, er dette definert ved

 

Avstanden til dette tyngdepuntet fra de to hjørnene B og C er gitt ved linjestykkene BL og LC. Som i det endimensjonale tilfellet vil man da ha BL/LC = mC/mB. Nå kan dermed punktet P uttrykkes ved kombinasjonen

 

som viser eksplisitt at P ligger på den rette linjen mellom A og L.

De to trekantene PBL og PLC har forskjellige grunnlinjer BL og LC, men samme høyde. Betegner man arealene til disse trekantene på samme måte, har man derfor

 

Av samme grunn vil dette også være forholdet mellom arealene ABL og ALC'. Dermed er også

 

Her er PAB arealet av trekanten bestående av siden i trekanten motsatt av punktet C og med tredje hjørne i det felles tyngdepunkt P. Likedan består trekanten PAC av dette punktet og siden motsatt hjørne B.

Tilsvarende relasjoner kan finnes for forholdene mB/mA og mA/mC uttrykt ved de tilhørende arealene til de tre trekantene med felles hjørne i punktet P. Disse tre arealene kan derfor likså godt brukes som barysentriske koordinater. De normaliseres ved å dividere dem med arealet til hele referansetrekanten.

ReferanserRediger

  1. ^ A.F. Möbius, Der barycentrische Calcul, Verlag von Johann Ambrosius Barth, Leipzig (1827).
  2. ^ a b c H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, New York (1969). ISBN 0-4711-8283-4.
  3. ^ a b c D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover Publications, New York (2013). ISBN 1-306-340551.
  4. ^ J. N. Cederberg, A Course in Modern Geometries, Springer-Verlag, Berlin (2001). ISBN 0-387-98972-2.

Eksterne lenkerRediger