Åpne hovedmenyen

I lineær algebra er Cramers regel et teorem som gir uttrykk for løsningen til et lineært ligningssystem med like mange ukjente som ligninger, i tilfeller der en entydig løsning eksisterer.

Teoremet er oppkalt etter Gabriel Cramer (1704–1752), som i 1750 publiserte teoremet i verket Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (Introduksjon til analyse av algebraiske kurver). Også Colin Maclaurin beskrev metoden i avhandlingen Treatise of Algebra, utgitt i 1748.

Løsningen av ligningssystemet er uttrykt ved hjelp av determinanten til koeffisientmatrisen, samt determinanter til matriser dannet ved å erstatte en kolonne i koeffisientmatrisen med en vektor lik høyresiden i ligningssystemet.

Cramers regel er ikke praktisk for løsning av ligningssystem der antall ukjente er høyt. Teoremet blir sporadisk benyttet som er teoretisk resultat.

Cramers regel for et 2 × 2 systemRediger

Et lineært ligninssystem med to ukjente kan skrives på forma

 

På matriseform skrives ligninssystemet som

 

De to ukjente x og y er gitt ved Cramers regel som

 
 

Cramers regel for et 3 × 3 systemRediger

Tilsvarende skrives et lineært ligningssystem med tre ukjente som

 

Matriseforma er

 

Cramers regel sier at løsningen for de tre ukjente x og y og z er gitt ved

 

Cramers regel for et generelt systemRediger

Et generelt ligningssystem med n ligninger og n ukjente kan skrives på matriseforma

 

Matrisen A er antatt å være ikke-singulær, slik at determinanten til A er ulik null og en entydig løsning til ligningssystemet eksisterer. Kolonnevektoren x = (x1, ..., xn)T inneholder de ukjente i ligningssystemet.

Cramers regel sier at løsningen av ligningssystemet kan skrives på forma

 

der Ak er matrisen dannet ved å erstatte kolonne nummer k i matrisen A med kolonnevektoren b.

LitteraturRediger

  • C.B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN ISBN 0-691-02391-3 Sjekk |isbn=-verdien: invalid character (hjelp). 
  • Fr Fabricius-Bjerre (1949). Lærebog i geometri. I: Analytisk geometri, lineær algebra (1967 utg.). Lyngby: Polyteknisk forlag. ISBN 97-502-0440-8 Sjekk |isbn=-verdien: checksum (hjelp).