Abels konvergensteorem

matematisk teorem

Abels konvergensteorem i matematikk relaterer grenseverdien for en potensrekke til summen av koeffisientene. Teoremet er oppkalt etter den norske matematikeren Niels Henrik Abel.

Teorem rediger

La a = {ai: i ≥ 0} være en vilkårlig følge av reelle eller komplekse tall, og la

 

være potensrekken med koeffisientene a. Anta at rekken   konvergerer. Da

 

I det spesielle tilfellet da alle koeffisientene ai er reelle og ai ≥ 0 for alle i, vil uttrykket overfor   gjelde også når rekken   ikke konvergerer. I så tilfelle er begge sidene av uttrykket lik +∞.

Bemerkning rediger

I en mer generell versjon av dette teoremet gjelder følgende: hvis r er et tilfeldig reelt tall ulik null og rekken   konvergerer for dette tallet, da følger det at

 

forutsatt at vi tolker grensen for dette uttrykket som en énsidig grense, fra venstre hvis r er positiv og fra høyre hvis r er negativ.

Eksempler rediger

La   Da   konvergerer (av konvergenskriteriet for alternerende rekker,) følger

 


La   Igjen følger det av konvergenskriteriet for alternerende rekker, at   konvergerer, og at

 

Anvendelsesområder rediger

Anvendelsen av Abels teorem er knyttet til at den muliggjør å finne grensen til en potensrekke mens dets argument (dvs. z) nærmer seg 1 nedenfra, selv i tilfeller der konvergens radius R, for potensrekke er lik 1 og man ikke kan fastslå om grensen burde være endelig eller ikke. Se for eksempel binomialrekkene.

Ga(z) kalles den genererende funksjon for sekvensen a. Abels teorem er ofte nyttig ved generering av funksjoner med sekvenser av reelle ikke-negative verdier, som sannsynlighetsgenererende funksjoner. Den er særlig nyttig i teorien om Galton-Watson prosesser.

Beslektede konsepter rediger

Konverse teoremer til et som Abels kalles Tauberiske teoremer: det finnes ingen nøyaktig konvers, kun resultater som betinger en hypotese. Fagområdet divergerende rekker og deres summasjonsmetoder inneholder mange teoremer av abelsk type og av tauberisk type.

Eksterne lenker rediger