Tetraedertall

Tetraedertall er i aritmetikken en følge av positive heltall som angir hvor mange kuler eller baller som kan stables sammen til et regulært tetraeder. Da det er definert ut fra en slik geometrisk figur, utgjør de en egen klasse av figurtall.

Et tetraeder med 5 kuler i hver sidekant inneholder 35 kuler som er det femte tetraedertallet.

Det n-te tetraedertallet betegnes ofte ved T_n  der n betegner antall kuler i tetraederet sidekant. Bortsett fra en enkel kule som tilsvarer T₁ = 1, er det minste tetraedertallet T₂ = 4 som består av tre kuler arrangert som en likesidet trekant med en ekstra kule plassert i gropen som de tre underliggende kulene danner. På tilsvarende vis finnes de minste tetraedertallene å være

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, ...

Hvert slikt tetraeder består av n lag med kuler arrangert som regulære triangel med sidekanter som øker fra 1 til n. Det betyr at man kan betrakte hvert tetraedertall som en sum av de n første trekanttallene.

Da et tetraeder er en pyramide med en trekantet grunnflate, utgjør også tetraedertallene en klasse av de mer generelle pyramidetallene basert på pyramider med andre, regulære polygoner som grunnflate. Videre kan et tetraeder også betraktes som en utvidelse av den likesidete trekanten til en tredje dimensjon. Denne utvidelsen kan fortsettes til høyere dimensjoner og på den måten danne simplekser. Derfor kan man si at tetraedertallene er en klasse i denne mye større gruppen av simplekstall basert på slike abstrakte polytoper som er vanskelig å forestille seg.

Aritmetiske egenskaper

Man kan bygge et tetraeder med T_n kuler fra et mindre tetraeder med T_{n - 1} kuler ved å plassere dette på et regulært triangel med n kuler i hver sidekant og derfor inneholdende trekanttallet Δ_n kuler i alt. Derfor har man rekursjonsformelen

${\begin{aligned}T_{n}&=T_{n-1}+\Delta _{n}\\&=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\cdots +\Delta _{n}\end{aligned}}$

Da det k-te trekanttallet er Δ_k = k(k + 1)/2, er det n-te tetraedertallet

${\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}\Delta _{k}={1 \over 2}\sum _{k=1}^{n}k^{2}+{1 \over 2}\sum _{k=1}^{n}k\\&={1 \over 6}n^{3}+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 3}n={1 \over 6}n(n+1)(n+2)\end{aligned}}$

Dette resultatet kan også verifiseres ved matematisk induksjon som sees fra

${\begin{aligned}T_{n+1}&=T_{n}+\Delta _{n+1}={1 \over 6}n(n+1)(n+2)+{1 \over 2}(n+1)(n+2)\\&={1 \over 6}(n+1)(n+2)(n+3)\end{aligned}}$

Da formelen for det n-te tetraedertallet er riktig for n = 2 hvor den gir T₂ = 4, vil den derfor være riktig for n + 1 og så videre.

Simplekstall

Pascals trekant hvor alle radene er venstrejustert.

Mens den likesidete trekanten kan betraktes som et 2-simpleks, er tetraederet et 3-simpleks. Trekanttallene og tetraedertallene kan derfor leses direkte ut fra Pascals trekant hvor de opptrer i tredje og fjerde, loddrette linjer. Til og med de naturlige tallene i andre linje kan betraktes som tokanttall hvor de to sidene i tokanten er falt sammen til å gi et linjestykke.

Da elementene i Pascals trekant er gitt ved binomialkoeffisienter, kan trekanttallene skrives som

$\Delta _{n}={n+1 \choose 2}={1 \over 2}n(n+1)$,

mens tetraedertallene er

$T_{n}={n+2 \choose 3}={1 \over 6}n(n+1)(n+2)$

At disse kan skrives som en sum av trekanttall, tilsvarer identiteten

${n+2 \choose 3}=\sum _{k=1}^{n}{k+1 \choose 2}$

som er kjent fra de generelle egenskapene til binomialkoeffisientene.

Et tetraeder kan utvides til et 4-simpleks ved å legge til en ekstra kule i en fjerde dimensjon slik at denne har samme avstand til de fire hjørnene i det opprinnelige 3-simplekset. Denne regulære polytopen kan dermed tilordnes et n-te simplekstall P₄(n) gitt ved rekursjonsformelen

$P_{4}(n)=P_{4}(n-1)+P_{3}(n)$

der P₃(n) er tetraedertallet T_n  i den samme simpleksnotasjonen. Dermed kan 4-simplekstallet P₄(n) skrives som en sum over tetraedertall,

$P_{4}(n)=\sum _{k=1}^{n}{k+2 \choose 3}={n+3 \choose 4}$

Tilsvarende relasjoner kan finnes for det n-te simplekstallet P_d (n) i d dimensjoner som dermed generelt tar formen

$P_{d}(n)={n+d-1 \choose d}$

Det kan leses direkte ut av Pascals trekant som tallene i (d+1)-te loddrette linje fra venstre.

Litteratur

• J.H. Conway and R.K. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, New York (1996). ISBN 978-1-4612-8488-8.

• E. Deza and M.M. Deza (2012), Figurate Numbers, World Scientific, Singapore (2012). ISBN 978-981-4355-48-3; Figurate numbers: Presentation of a Book.