Paulis eksklusjonsprinsipp

Paulis eksklusjonsprinsipp, eller bare Pauli-prinsippet, er et kvantemekanisk prinsipp formulert av Wolfgang Pauli i 1925. Prinsippet sier at to identiske fermioner ikke kan okkupere samme kvantetilstand samtidig. En mer rigorøs påstand av dette prinsippet er at for to identiske fermioner er den totale bølgefunksjonen antisymmetrisk. For elektroner i et enkelt atom sier det at ingen av elektronene kan ha de samme fire kvantetallene. Det vil si at dersom n, l og m_l er like, må m_s være forskjellig, altså har forskjellig spinn.

I relativistisk kvantefeltteori følger Paulis prinsipp fra å bruke en rotasjonsoperator på den imaginære tiden til partikler med halvtallig spinn. Dette følger ikke fra noen spinnrelasjoner i ikke-relativistisk kvantemekanikk.

Innledning

Paulis eksklusjonsprinsipp er ett av de mest kjente prinsippene innen fysikk, primært fordi de tre typene elementærpartikler som ordinær materie består av, elektroner, protoner og nøytroner, alle berøres av prinsippet. På grunn av prinsippet viser alle materialpartikler rom-okkuperende oppførsel. Pauliprinsippet underbygger mange av de karakteristiske egenskapene til materie fra storskala stabilitet til eksistensen av periodesystemet. Partikler med antisymmetriske bølgefunksjoner kalles fermioner og følger Paulis prinsipp. Bortsett fra elektroner, nøytroner og protoner, inkluderer fermioner også nøytrinoer og kvarker, og også enkelte atomer som ³He. Alle fermioner har halv-tallig spinn, noe som betyr at de har et internt dreiemoment med verdier lik $n\hbar =nh/2\pi$ , der $n=1/2,3/2,5/2,...$ . Altså Plancks reduserte konstant ganget med en halvtallig konstant (1/2, 3/2, 5/2, ...). Partikler med heltallig spinn, altså der $n=1,2,3,...$ , har en symmetrisk bølgefunksjon og kalles bosoner. I kontrast til fermioner kan disse dele samme kvantetilstand. Eksempler på bosoner er fotoner, Cooper-par som er ansvarlig for superledning, og W- og Z-bosonene.

Historie

Tidlig på 1900-tallet ble det klart at atomer og molekyler med par av elektroner, eller et jevnt antall elektroner, er mer stabile enn dem med et odde antall elektroner. I den kjente artikkelen fra 1916, The Atom and the Molecule av Gilbert N. Lewis blir det satt opp seks postulater om kjemisk oppførsel. Nummer tre i artikkelen sier at atomer har en tendens til å holde et jevnt antall elektroner i et skall, og spesielt å holde åtte elektroner som normalt er fordelt symmetrisk i de åtte hjørnene i en kube. I 1919 foreslo den amerikanske kjemikeren Irving Langmuir at periodesystemet kunne forklares dersom elektronene i et atom var organisert i klynger eller på en annen måte hang sammen. Grupper av elektroner ble tenkt å okkupere et sett av elektronskall rundt kjernen.^[1] I 1922 oppdaterte Niels Bohr sin atommodell ved å anta at enkelte antall av elektroner (for eksempel 2, 8, og 18) tilsvarte «lukkede skall».

Pauli så etter en forklaring på disse tallene som først kun var empiriske. Samtidig prøvde han å forklare eksperimentelle resultater av Zeeman-effekten i atomær spektroskopi og i ferromagnetisme. Pauli fant et viktig hint i en artikkel fra 1924 av E.C. Stoner. Artikkelen påpekte at for en gitt verdi av hovedkvantetallet n, er antall energinivå for et enkelt elektron i spekteret fra et alkalimetall i et eksternt magnetisk felt, der alle degenererte energinivå er separert, er likt antallet elektroner i de lukkede skallene til edelgassene for samme verdi av $n$ . Dette fikk Pauli til å innse at de kompliserte antallene av elektron i lukkede skall kunne reduseres til den enkle regelen «ett» per tilstand, dersom elektrontilstandene er definert ved fire kvantetall. For dette formålet introduserte han et nytt toverdig kvantetall, identifisert av Samuel Goudsmit og George Uhlenbeck som retningen til elektronets spinn.

Kobling til symmetrier i kvantetilstander

Paulis eksklusjonsprinsipp med en entydig mangepartikkel bølgefunksjon er ekvivalent med antagelsen at bølgefunksjonen er antisymmetrisk. En antisymmetrisk topartikkeltilstand er representert som en sum av tilstandene, eller som en superposisjon av tilstandene, der den ene partikkelen er i tilstanden $\scriptstyle |x\rangle$ og den andre i tilstanden $\scriptstyle |y\rangle$

|\psi \rangle =\sum _{xy}A(x,y)|x,y\rangle

og antisymmetri under veksling medfører at $\scriptstyle A(x,y)=-A(y,x)$ . Dette impliserer at $\scriptstyle A(x,y)=0$ som er Pauli eksklusjon i «praksis». Dette er sant i enhver basis siden unitære endringer i basisen beholder antisymmetriske matriser antisymmetriske, selv om kvantiteten $\scriptstyle A(x,y)$ strengt tatt er en andregrads tensor.

Omvendt, dersom de diagonale kvantitene $\scriptstyle A(x,x)$ er null i «enhver basis», blir komponentene i bølgefunksjonen

A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \otimes |y\rangle )

og disse er nødvendigvis antisymmetriske. For å bevise dette, betrakt matriseelementet

\langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))\,

Dette er null fordi de to partiklene har null sannsynlighet for at begge skal være i den superposisjonerte tilstanden $\scriptstyle |x\rangle +|y\rangle$ . Men dette er lik

\langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle \,

Det første og siste leddet på høyre side er diagonale elementer og er null, og hele summen er lik null. Så matriseelementene til bølgefunksjonen oppfyller

\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0\,

.

eller

A(x,y)=-A(y,x)\,

Ifølge spinnstatistikkteoremet vil partikler med heltallig spinn okkupere symmetriske kvantetilstander, og partikler med halvtallig spinn okkupere antisymmetriske tilstander. Videre, kun heltallig eller halvtallig spinnverdier er tillatt av de kvantemekaniske prinsippene.

Konsekvenser

Atomer og Paulis prinsipp

Paulis eksklusjonsprinsipp bidrar til å forklare en rekke fysiske fenomen. En konsekvens av prinsippet er elektronskall-strukturen i atom og måten atom deler elektron. Et elektrisk nøytralt atom består av like mange bundne elektron som det er proton i kjernen. Siden elektron er fermioner forbyr Pauliprinsippet dem å okkupere samme tilstand og man får en «stabling» av elektronene inne i atomet.

For eksempel, et nøytralt heliumatom har to bundne elektron. Begge disse elektronene kan okkupere den laveste energitilstanden (1s) ved å ha motsatt spinn. Dette bryter ikke med Pauliprinsippet fordi spinn er en del av kvantetilstanden til elektronet. På denne måten vil to elektron med motsatt spinn kunne okkupere samme energinivå. Dersom man nå ser på litium, som har tre elektron, vil man ikke ha plass til alle elektronene i 1s-tilstanden siden spinnet kun kan ta to verdier, «opp» eller «ned». Derfor må det tredje elektronet plasseres i den høyere energitilstanden 2s. På denne måten vil tyngre grunnstoff ha fler og fler elektronskall. Den kjemiske egenskapen til et element avhenger i stor grad av antallet elektroner i det ytterste skallet, noe som gir opphav til den periodiske tabellen.

Faststoffegenskaper og Pauli-prinsippet

I elektriske ledere og halvledere må frie elektroner dele hele volumet, med andre ord «stables» energinivåene opp og danner båndstrukturer fra hvert av de atomære energinivåene. I sterke ledere (metaller) er elektroner så degenererte at de ikke kan bidra i særlig grad til den termiske kapasiteten til et metall. Mange mekaniske, elektriske, magnetiske, optiske og kjemiske egenskaper til faste stoffer er direkte konsekvenser av Paulis eksklusjonsprinsipp.

Stabilitet i materie

Siden elektroner er negativt ladet og kjernen er positivt ladet skulle man anta at atomene ville kollapse. Stabiliteten til elektroner omkring et atom er ikke relatert til eksklusjonsprinsippet, men er beskrevet av kvanteteorien til atomet. Den underliggende idéen er at når elektronet nærmer seg atomkjernen øker den kinetiske energien til elektronet. Dette baserer seg på Heisenbergs usikkerhetsrelasjon.^[2] Imidlertid trengs eksklusjonsprinsippet for større systemer med mange elektroner og mange kjerner.^[3]

Det har blitt vist at Paulis eksklusjonsprinsipp er ansvarlig for at ordinær bulk-materie er stabil og tar opp volum. Det første forslaget ble fremmet av Paul Ehrenfest i 1931, som påpekte at alle elektronene i hvert atom ikke kan falle ned i det innerste skallet med lavest energi, og at de må oppta stadig større skall. Atomer opptar derfor volum og kan ikke bli skvist noe mer sammen.

Et mer rigorøst bevis ble fremstilt av Freeman Dyson og Andrew Lenard i 1967. De så på balansen mellom tiltrekkende (elektron-kjerne) og frastøtende (elektron-elektron og kjerne-kjerne) krefter og viste at vanlig materie ville kollapse og okkupere et mye mindre volum uten eksklusjonsprinsippet. Konsekvensen av Pauliprinsippet her er at elektroner med samme spinn blir holdt fra hverandre av frastøtende utvekslingskrefter. Dette er en kortrekkende kraft som kommer i tillegg til den langtrekkende elektrostatiske kraften eller Coulomb-kraften.

Dyson og Lenard tok ikke i betrakning de ekstreme magnetiske eller gravitasjons-kreftene som oppstår i enkelte astronomiske objekter. I 1995 viste Elliott Lieb og hans medarbeidere at Pauliprinsippet fortsatt leder til stabilitet i intense magnetiske felt som i nøytronstjerner. Men nøytronstjernene har mye høyere tetthet enn ordinær materie. Ved tilstrekkelig intense gravitasjonsfelt vil materie kollapse og danne sorte hull.

Astrofysikk og Pauli-prinsippet

Astronomi viser en annen spektakulær demonstrasjon av denne effekten i form av hvite dverger og nøytronstjerner. For begge av disse legemene er deres vanlige atomære struktur brutt av sterke gravitasjonskrefter, som gjør at de opprettholdes kun av «degenerasjonstrykk». Denne eksotiske formen for materie er kjent som degenerert materie. I hvite dverger er atomene holdt fra hverandre av elektronenes degenerasjonstrykk. I nøytronstjerner, som er under enda sterkere gravitasjonskrefter, blir elektronene smeltet sammen med protonene og danner nøytroner, som igjen produserer et større degenerasjonstrykk. Nøytroner er de mest rigide objektene man vet om. Deres Youngs modul (eller mer presist; kompresjonsmodul) er 20 størrelsesordener større enn i en diamant.

Se også

Hunds regel

Referanser

^ Langmuir, Irving (1919). «The Arrangement of Electrons in Atoms and Molecules». Journal of the American Chemical Society. 41 (6): 868–934. Arkivert fra originalen 10. desember 2008. Besøkt 1. september 2008. «Arkivert kopi». Archived from the original on 10. desember 2008. Besøkt 22. april 2009. CS1-vedlikehold: Uheldig URL (link)
^ Elliot J. Lieb The Stability of Matter and Quantum Electrodynamics
^ Denne realiseringen tilskrives Lieb og GL Sewell (2002). Quantum Mechanics and Its Emergent Macrophysics. Princeton University Press. ISBN 0691058326. FJ Dyson og A Lenard: Stability of Matter, Parts I and II (J. Math. Phys., 8, 423-434 (1967); J. Math. Phys., 9, 698-711 (1968) ).

Litteratur

Dill, Dan (2006). «Chapter 3.5, Many-electron atoms: Fermi holes and Fermi heaps». Notes on General Chemistry (2nd ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-4292-0068-5.
Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
Massimi, Michela (2005). Pauli's Exclusion Principle. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83911-4.
Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-4345-0.

Eksterne lenker

Nobel Lecture: Exclusion Principle and Quantum Mechanics Paulis egen forklaring om utviklingen av eksklusjonsprinsippet.
The Exclusion Principle (1997), Paulis eksklusjonsregler vs. Aspden eksklusjonsregler.

[1] Langmuir, Irving (1919). «The Arrangement of Electrons in Atoms and Molecules». Journal of the American Chemical Society. 41 (6): 868–934. Arkivert fra originalen 10. desember 2008. Besøkt 1. september 2008. «Arkivert kopi». Archived from the original on 10. desember 2008. Besøkt 22. april 2009. CS1-vedlikehold: Uheldig URL (link)

[Lieb-2] Elliot J. Lieb The Stability of Matter and Quantum Electrodynamics

[Lieb2-3] Denne realiseringen tilskrives Lieb og GL Sewell (2002). Quantum Mechanics and Its Emergent Macrophysics. Princeton University Press. ISBN 0691058326. FJ Dyson og A Lenard: Stability of Matter, Parts I and II (J. Math. Phys., 8, 423-434 (1967); J. Math. Phys., 9, 698-711 (1968) ).

[1]

[2]

[3]