Reductio ad absurdum

Reductio ad absurdum (latin for «tilbakeførsel til det meningsløse»), apagogisk argument (gresk ἀπαγωγή [apagōgē] = «bortledning») eller bevis ved kontradiksjon (latin contradictio = «motsigelse») er en form for bevisførsel i logikken. Beviset går ut på at usannheten av et utsagn er vist når man kan dedusere (avlede) en kontradiksjon (selvmotsigelse) fra dette utsagnet. Sannheten av et utsagn kan bevises indirekte når dette utsagnets negasjon (nektelse) på denne måten kan «føres ad absurdum» (eller «reduseres ad absurdum»).

Eksempler

1. Vi ønsker å bevise utsagnet «det eksisterer ikke noen minste positiv brøk». Vi bruker negasjonen av dette utsagnet som premiss og utleder en selvmotsigende konklusjon:
   • Premiss: «Det eksisterer en minste positiv brøk x»
   • Konklusjon 1: «Tallet x er den minste positive brøken»
   • Definisjon: «Tallet y defineres som halvparten av x»
   • Konklusjon 2: «Tallet y er en positiv brøk og mindre enn x»
   • Konklusjon 2 strider mot konklusjon 1. Altså må premisset være usant, og vårt opprinnelige utsagn sant.
2. Det klassiske eksempelet på en reductio ad absurdum er Euklids bevis for at kvadratroten av 2 er et irrasjonalt tall (se beviset her).

Formalisering

Utsagnslogisk kan en reductio ad absurdum formaliseres på en av de følgende måtene (der «∧» står for «og», «¬» for «ikke», og «→» for «hvis–så»):

1. $[(A\rightarrow B)\land (A\rightarrow \neg B)]\Rightarrow \neg A$
2. $[(\neg A\rightarrow B)\land (\neg A\rightarrow \neg B)]\Rightarrow A$
3. $\{[(A\land B)\rightarrow C]\land [(A\land B)\rightarrow \neg C)]\land B\}\Rightarrow \neg A$
4. $\{[(\neg A\land B)\rightarrow C]\land [(\neg A\land B)\rightarrow \neg C)]\land B\}\Rightarrow A$

Eksempelet med en minste positiv brøk er et tilfellet av den første formaliseringen:

A = «Det eksisterer en minste positiv brøk x»

B = «Tallet x er den minste positive brøken»

A → B

A → «x er en positiv brøk» → «${\tfrac {x}{2}}$ er en positiv brøk og mindre enn x» → ¬B

A impliserer altså både B og ¬B og må dermed være usann.

Hvis en kontradiksjon er utledet fra et sett med premisser, viser dette at minst ett premiss er usant; men andre metoder må benyttes for å avgjøre hvilket.

I intuisjonistisk logikk anerkjennes bevisførslene 1 og 3, men ikke 2 og 4.

Varianter

Det fins noen varianter av bevisførselen, som ofte omtales som «reductio ad absurdum» (i vid forstand), men egentlig utgjør svakere bevisformer:

1. (egentlig) reductio ad absurdum («slutning til det meningsløse»): avledning av en selvmotsigelse;
2. reductio ad falsum («slutning til det usanne»): avledning av en (annen) usannhet;
3. reductio ad impossibile («slutning til det umulige»): avledning av en empirisk umulighet;
4. reductio ad incommodum («slutning til det ubeleilige»): avledning av en (annen) uforklarlig påstand.
5. reductio ad ridiculum («slutning til det latterlige»): avledning av en (annen) usannsynlig påstand;

De to første formene er logisk allmenngyldige og kan derfor regnes som tvingende bevis.

Den tredje formen er bare gyldig i den grad det er absolutt sikkert at utledningen representerer en umulighet – men siden empiriske (f.eks. fysiske) utsagn aldri er sikre, kan ikke en reductio ad impossibile regnes som noe bevis i egentlig forstand. «Beviset» er uansett aldri sikrere enn den empiriske kunnskapen som legges til grunn.

De to sistnevnte formene kan ikke kalles bevis i det hele tatt, men fungerer kun som et mer eller mindre plausibelt argument eller som et retorisk virkemiddel. I hverdagsspråket brukes «reductio ad absurdum» gjerne i en av disse siste betydningene.

Historie

Uttrykket kan spores tilbake til gresk (ἡ ἐις ἄτοπον ἀπαγωγη [hē eis átopon apagōgē] = «reduksjon til det umulige»). Det ble bl.a. brukt av Aristoteles.

Litteratur

• C. Thiel (1995). «reductio ad absurdum». I J. Mittelstraß. Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Band 3: P–So. Stuttgart: Metzler. s. 516. 
• N. Rescher (2016). «Reductio ad Absurdum». The Internet Encyclopedia of Philosophy. Besøkt 13. juli 2016.