Brahmaguptas formel

Brahmaguptas formel gir arealet av en syklisk firkant uttrykt ved lengdene av de fire sidene i firkanten. I en syklisk firkant ligger alle hjørnene på en sirkel. Formelen er oppkalt etter den indiske matematiker Brahmagupta som levde på 600-tallet.

Hjørnene i en syklisk firkant ligger på en sirkel.

Kaller man sidelengdene i firkanten for a, b, c og d, kan dens areal skrives som

$S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

etter at man har innført den halve omkretsen til firkanten,

$s={\frac {1}{2}}(a+b+c+d).\,$

Når en av sidene i firkanten blir forsvinnende liten, går den over til å bli en trekant. Formelen til Brahmagupta går da over i Herons formel som gir arealet til trekanten uttrykt ved dens sidelengder.

På 1800-tallet ble det vist at Bramhaguptas formel kunne utvides til å gjelde for en vilkårlig firkant.

Utledning

La lengden av sidene i firkanten være a, b, c og d. Arealet S av firkanten er da lik summen av arealene til de to trekantene ABD og BDC som vist i figuren. Ved bruk av formelen for arealet til en vanlig trekant, har man da

$S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C$

hvor A er vinkelen i hjørnet A og tilsvarende for C. I en syklisk firkant er summen av vinklene A + C = 180° som følger fra teoremet om periferivinkler. Derfor er sinA = sinC slik at arealet er gitt ved

$S={\frac {1}{2}}{\big (}ab+cd{\big )}\sin A$

Vinklene A og C kan nå finnes fra cosinussetningen brukt på trekantene ABD og BDC. De har siden BD felles slik at

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C$

Da nå cosA = - cosC, følger herav at 2(ab + cd) cosA = a² + b² - c² - d². Dette resultatet for cosA kan nå benyttes i uttrykket for arealet til frikanten da

$S={1 \over 2}{\big (}ab+cd{\big )}{\sqrt {1-\cos ^{2}\!A}}={1 \over 2}{\big (}ab+cd{\big )}{\sqrt {1+\cos A}}{\sqrt {1-\cos A}}$

Settes her inn for (ab + cd) cosA, får man

${\begin{aligned}S&={1 \over 4}{\sqrt {2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}}{\sqrt {2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\\&={1 \over 4}{\sqrt {(a+b)^{2}-(c-d)^{2}}}{\sqrt {(c+d)^{2}-(a-b)^{2}}}\\&={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)}}\end{aligned}}$

Dette er nå Brahmaguptas formel som sees ved å sette inn den halve omkretsen s = (a + b + c +d)/2 til firkanten.

Generalisering

I en vilkårlig firkant er vinkelen θ = (A + C)/2 ikke nødvendigvis nøyaktig lik 90° som i det sykliske tilfellet. Men den samme beregningen kan likevel benyttes til å gi resultatet

$S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\!\theta }}$

for arealet av en alminnelig firkant. Det ble vist vist i 1842 av de tyske matematikerne Carl Anton Bretschneider og Karl von Staudt uavhengig av hverandre. Da summen av de indre vinklene i en firkant alltid er 360°, spiller det ingen rolle hvilke to motstående vinkler blir brukt i bestemmelsen av vinkelen θ.

Litteratur

• C.B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.