Åpne hovedmenyen

Brahmaguptas formel

Hjørnene i en syklisk firkant ligger på en sirkel.

Brahmaguptas formel gir arealet av en syklisk firkant uttrykt ved lengdene av de fire sidene i firkanten. I en syklisk firkant ligger alle hjørnene på en sirkel. Formelen er oppkalt etter den indiske matematiker Brahmagupta som levde på 600-tallet.

Kaller man sidelengdene i firkanten for a, b, c og d, kan dens areal skrives som

etter at man har innført den halve omkretsen til firkanten,

Når en av sidene i firkanten blir forsvinnende liten, går den over til å bli en trekant. Formelen til Brahmagupta går da over i Herons formel som gir arealet til trekanten uttrykt ved dens sidelengder.

1800-tallet ble det vist at Bramhaguptas formel kunne utvides til å gjelde for en vilkårlig firkant.

UtledningRediger

La lengden av sidene i firkanten være a, b, c og d. Arealet S av firkanten er da lik summen av arealene til de to trekantene ABD og BDC som vist i figuren. Ved bruk av formelen for arealet til en vanlig trekant, har man da

 

hvor A er vinkelen i hjørnet A og tilsvarende for C. I en syklisk firkant er summen av vinklene A + C = 180° som følger fra teoremet om periferivinkler. Derfor er sinA = sinC slik at arealet er gitt ved

 

Vinklene A og C kan nå finnes fra cosinussetningen brukt på trekantene ABD og BDC. De har siden BD felles slik at

 

Da nå cosA = - cosC, følger herav at 2(ab + cd) cosA = a2 + b2 - c2 - d2. Dette resultatet for cosA kan nå benyttes i uttrykket for arealet til frikanten da

 

Settes her inn for (ab + cd) cosA, får man

 

Dette er nå Brahmaguptas formel som sees ved å sette inn den halve omkretsen s = (a + b + c +d)/2 til firkanten.

GeneraliseringRediger

I en vilkårlig firkant er vinkelen θ = (A + C)/2 ikke nødvendigvis nøyaktig lik 90° som i det sykliske tilfellet. Men den samme beregningen kan likevel benyttes til å gi resultatet

 

for arealet av en alminnelig firkant. Det ble vist vist i 1842 av de tyske matematikerne Carl Anton Bretschneider og Karl von Staudt uavhengig av hverandre. Da summen av av de indre vinklene i en firkant alltid er 360°, spiller det ingen rolle hvilke to motstående vinkler blir brukt i bestemmelsen av vinkelen θ.

LitteraturRediger

  • C.B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.