Black-Scholes

Black-Scholes er et begrep hentet fra matematisk finans som brukes løst om tre ulike ting:

• Den stokastiske differensialligningen som ofte brukes som modell for et verdipapir, som for eksempel en aksje.
• Den partielle differensialligningen som utledes fra modellen i punktet over.
• Løsningen av den partielle differensialligningen i punktet over.

Begrepet tar sitt navn fra forfatterne Fisher Black og Myron Scholes som arbeidet med prissetting av en Europeisk opsjon på begynnelsen av 1970-tallet. Sammen med Robert C. Merton, som først innførte begrepet, løste de problemet med å finne en rettferdig pris på en Europeisk opsjon gitt visse betingelser. Senere ble Merton og Scholes tildelt Sveriges Riksbanks pris i økonomisk vitenskap til minne om Alfred Nobel for sitt arbeid i 1997, mens Black ikke kunne motta prisen da han døde i 1995.

Black-Scholes som en stokastisk prosess

Som en stokastisk differensialligning er Black-Scholes-modellen formulert på følgende vis:

$dS_{t}=\alpha S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},$

under antagelsene at både driften $\alpha$ og volatiliteten $\sigma$ er konstante. Videre er "støyen" $W_{t}$ en standard Brownsk bevegelse, og følgende antagelser er gjort med tanke på markedet og aksjen:

• Short-salg er tillatt.
• Det er ingen transaksjonskostnader.
• Markedet er arbitrasje-fritt.
• Aksjen betaler ikke ut fortjeneste.
• Handel foregår kontinuerlig.
• Man kan handle fraksjoner av en aksje.
• Man kan låne penger i banken til en gitt risiko-fri rente.

Denne modellen kan løses analytisk og gir da en pris for en Europeisk opsjon under disse antagelsene kombinert med startbetingelsen $S_{0}$. Dette gjøres blant annet på online opsjonskalkulatore slik den Oslo Børs benytter [1].

Black-Scholes som en partiell differensialligning

Fra Black-Scholes modellen over kan man utlede en partiell differensialligning. Dette kan gjøres på flere måter, avhengig av hvilken teknikk man bruker.

Arbitrasje-fri utledning

Under antagelsene at man har et komplett marked kan man bruke Feynman-Kacs teorem samt den karakteristiske generatoren assosiert med Black-Scholes stokastiske differensialligningen. Fra dette får man den partielle differensialligningen

$u_{t}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}u_{xx}+rxu_{x}-xu=0$

med sluttbetingelsen

$u(x,T)=\max(S-K,0).$

Utledning med delta-hedging

Ved å komponere en portefølje bestående av en aksje og en opsjon kan man finne en arbitrasje-fri pris ved bruk av delta hedging. Vi tar utgangspunkt i at aksjedynamikken beskrives ved

$dS_{t}=\alpha S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},$

og at opsjonen kan beskrives som en funksjon av denne, slik at

$V:=V(S,t)=\left(\alpha S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}dW_{t}$

ved bruk av Itôs lemma.

Nå konstruerer vi en portefølje med én opsjon og $n$ aksjer, og får da følgende:

$\Pi =V+nS$.

Dersom vi holder antallet aksjer fiksert over et lite tidsintervall $dt$ vil porteføljens verdi forandre seg etter relasjonen

$d\Pi =dV+ndS.$

Setter vi nå inn for $dV$ og $dS$ gitt over finner vi at

$d\Pi =\sigma S\left({\frac {\partial V}{\partial S}}-n\right)dW_{t}+\left(\alpha S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}-\alpha nS\right)dt.$

Siden vi ønsker at all usikkerhet skal bort – vi vil hedge – velger vi $n={\frac {\partial V}{\partial S}}$ i starten av tidsintervallet $dt.$ Nå har vi en portefølje hvor usikkerheten er fjernet og endringen er helt deterministisk:

$d\Pi =\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.$

Ved arbitrasjeargumenter må verdien til porteføljen være $r\Pi dt$, og vi finner at

$r\Pi dt=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.$

Setter vi nå inn for $\Pi$ og $n$ finner vi Black-Scholes partielle differensialligning:

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0.$

Kritikk

Portfolio.com ved Michael Lewis skrev i 2008 en kritisk artikkel som omhandler denne modellen.