I tredimensjonal geometri er to linjer vindskjeve når de verken krysser hverandre eller er parallelle . Et enkelt eksempel på vindskjeve linjer er paret av linjer gjennom motsatte kanter av et regulært tetraeder . To linjer som begge ligger i samme plan må enten krysse hverandre eller være parallelle, så vindskjeve linjer kan eksistere bare i tre eller flere dimensjoner . To linjer er vindskjeve hvis og bare hvis de ikke ligger i samme plan .
Rektangulært parallelepiped. Linjen gjennom linjestykket AD og linjen gjennom linjestykket B1 B er vindskjeve fordi de ikke er i samme plan.
Teste for vindskjevhet
rediger
Hvis hver av et par skrå linjer er definert av to punkter , og disse fire punktene ikke ligger i samme plan, så vil de være hjørner i et tetraeder av endelig volum . Derfor kan vi teste om to par punkter definerer vindskjeve linjer ved å bruke formelen for volumet av et tetraeder gitt ved sine fire hjørner. Vi lar de fire hjørnenes koordinater være gitt ved 3-vektorene a , b , c , og d . Da kan vi sjekke om linjen gjennom a og b er vindskjev til linjen gjennom c og d ved å se om volumet til tetraederet definert av disse fire punktene er forskjellig fra null:
V
=
1
6
|
det
[
b
−
a
c
−
a
d
−
a
]
|
=
1
6
|
(
b
−
a
)
⋅
(
(
c
−
a
)
×
(
d
−
a
)
)
|
{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}{\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {a}}\\{\boldsymbol {c}}-{\boldsymbol {a}}\\{\boldsymbol {d}}-{\boldsymbol {a}}\end{matrix}}\right]\right|={\frac {1}{6}}|({\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {a}})\cdot (({\boldsymbol {c}}-{\boldsymbol {a}})\times ({\boldsymbol {d}}-{\boldsymbol {a}}))|}
Nærmeste punkt
rediger
Vi uttrykker de to linjene som vektorer:
Linje 1:
v
1
=
p
1
+
t
1
d
1
{\displaystyle {\text{Linje 1:}}\;{\boldsymbol {v}}_{1}={\boldsymbol {p}}_{1}+t_{1}{\boldsymbol {d}}_{1}}
Linje 2:
v
2
=
p
2
+
t
2
d
2
{\displaystyle {\text{Linje 2:}}\;{\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {p}}_{2}+t_{2}{\boldsymbol {d}}_{2}}
Vektor kryssproduktet av
d
1
{\displaystyle {\boldsymbol {d}}_{1}}
og
d
2
{\displaystyle {\boldsymbol {d}}_{2}}
er vinkelrett på begge linjene.
n
=
d
1
×
d
2
{\displaystyle {\boldsymbol {n}}={\boldsymbol {d}}_{1}\times {\boldsymbol {d}}_{2}}
Planet spent ut av Linje 2 og
n
{\displaystyle {\boldsymbol {n}}}
inneholder punktet
p
2
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{2}}
og er vinkelrett på
n
2
=
d
2
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{2}={\boldsymbol {d}}_{2}\times {\boldsymbol {n}}}
.
Skjæringspunktet mellom Linje 1 og dette planet, som også er punktet på Linje 1 som er nærmest Linje 2, er gitt ved
c
1
=
p
1
+
(
p
2
−
p
1
)
⋅
n
2
d
1
⋅
n
2
d
1
{\displaystyle {\boldsymbol {c}}_{1}={\boldsymbol {p}}_{1}+{\frac {({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\cdot {\boldsymbol {n}}_{2}}{{\boldsymbol {d}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2}}}{\boldsymbol {d}}_{1}}
På samme måte er punktet på Linje 2 nærmest Linje 1 gitt ved
c
2
=
p
2
+
(
p
1
−
p
2
)
⋅
n
1
d
2
⋅
n
1
d
2
,
{\displaystyle {\boldsymbol {c}}_{2}={\boldsymbol {p}}_{2}+{\frac {({\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{2})\cdot {\boldsymbol {n}}_{1}}{{\boldsymbol {d}}_{2}\cdot {\boldsymbol {n}}_{1}}}{\boldsymbol {d}}_{2},}
hvor
n
1
=
d
1
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1}={\boldsymbol {d}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}}
.
De nærmeste punktene
c
1
{\displaystyle {\boldsymbol {c}}_{1}}
og
c
2
{\displaystyle {\boldsymbol {c}}_{2}}
danner det korteste linjestykket som forbinder Linje 1 med Linje 2:
d
=
‖
c
1
−
c
2
‖
.
{\displaystyle d=\Vert {\boldsymbol {c}}_{1}-{\boldsymbol {c}}_{2}\Vert .}
Dersom vi bruker kryssproduktet mellom
d
1
{\displaystyle {\boldsymbol {d}}_{1}}
og
d
2
{\displaystyle {\boldsymbol {d}}_{2}}
til å definere en enhetsvektor for linjen som forbinder de vindskjeve linjene:
n
^
=
d
1
×
d
2
‖
d
1
×
d
2
‖
,
{\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {n}}}={\frac {{\boldsymbol {d}}_{1}\times {\boldsymbol {d}}_{2}}{\Vert {\boldsymbol {d}}_{1}\times {\boldsymbol {d}}_{2}\Vert }},}
Så kan avstanden mellom linjene også uttrykkes ved
d
=
|
n
^
⋅
(
p
1
−
p
2
)
|
.
{\displaystyle d=|{\widehat {\boldsymbol {n}}}\cdot ({\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{2})|.}
Hvis
d
1
×
d
2
{\displaystyle {\boldsymbol {d}}_{1}\times {\boldsymbol {d}}_{2}}
er null, så er linjene er parallelle og denne metoden kan ikke brukes.
Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd utgave), Chelsea, ss. 13–17, ISBN 0-8284-1087-9 .
Viro, Julia Drobotukhina; Viro, Oleg (1990), Configurations of skew lines , ss. 1027–1050 . Revised version in English: arXiv :math.GT/0611374 .
Eksterne lenker
rediger