Parallellaksiomet

Parallellaksiomet (også kalt parallellpostulatet eller Euklids femte postulat) er det femte aksiomet i euklidsk geometri, oppkalt etter den greske matematikeren Euklid. Aksiomet er mer kontroversielt enn andre aksiomer ettersom det ikke er like enkelt å formulere og innbyrdes anses av ikke alle for å være så selvklar som man ofte vil at et aksiom skal være. Euklid prøvde selv forgjeves å bevise parallellaksiomet ut fra de øvrige fire. Aksiomet sier at dersom to rette linjer skjæres av en tredje, vil de to skjære hverandre på den siden av den tredje hvor summen av de indre vinklene er mindre enn 180° (to rette vinkler).

Hvis summen av de indre vinklene α og β er mindre enn 180°, vil de to uendelig lange rette linjene skjære hverandre på den siden.

Avhengig av om man forkaster parallellaksiomet eller ikke, og i så fall om man erstatter det med noe annet, får man videre det som kalles ulike geometrier. De ulike geometrier er altså forskjellige teorier, og en bestemt setning kan være sann i en teori og falsk i en annen.

Det finnes ulike formuleringer av parallellaksiomet, men Playfairs aksiom som ble formulert av John Playfair, er en ekvivalent versjon som sier at det gjennom ethvert gitt punkt bare kan trekkes én linje parallell med en gitt linje. Denne formuleringen er nok den vanligste.

Playfairs formulering ble ansett som selvinnlysende opp til 1800-tallet, da de ikke-euklidske geometriene ble utviklet. Her ble alle de øvrige aksiomene fra euklidsk geometri bevart, mens parallellaksiomet ble forkastet. Om man tar til seg og lever etter denne idéen får man euklidsk geometri, om man forkaster den får man ikke-euklidsk geometri.

Noen av de setningene som er ekvivalente med parallellaksiomet synes ved første øyekast ikke å være relatert til parallelitet. Noen lyder så selvinnlysende at de ubevisst ble akseptert som gyldige av folk som hevdet at hadde bevist parallellaksiomet ut fra Euklids øvrige aksiomer. Her er noen eksempler:

1. Summen av vinklene i en trekant er 180°.
2. Det finnes en trekant dersom vinklene tilsammen er 180°.
3. Vinklenes sum er den samme i enhver trekant.
4. Det finnes en rekke trekanter som er like, men ikke kongruente.
5. Enhver trekant kan omskrives av en sirkel.
6. Hvis tre vinkler i en firkant er rette vinkler, så er den fjerde vinkelen også rett.
7. Det finnes en firkant med fire rette vinkler.
8. Det finnes to rette linjer som har en fast konstant avstand fra hverandre.
9. To linjer som er parallelle med den samme tredje linjen, er også parallelle med hverandre.
10. Gitt to parallelle linjer, så vil enhver linje som skjærer en av dem også skjære den andre.
11. I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på de to andre sidene (Pythagoras' læresetning).
12. Det finnes ingens øvre grense for arealet til en trekant.
13. Toppvinklene til Saccheri-firkanten er 90°.

Hvis man oppgir parallellaksiomet og bare benytter de fire første postulatene, får man det som kalles en nøytral eller absolutt geometri. Denne ble systematisk utforsket av Bolyai og Lobatjevskij på midten av 1800-tallet og ledet til hyperbolsk geometri. Denne viste seg å inneholde både euklidsk og sfærisk geometri. På den måten fikk parallellaksiomet mindre betydning og ble heller et spørsmål om hva det har noe med virkeligheten å gjøre. Man vil aldri kunne vite hva som skjer med to linjer uendelig langt borte. Da beveger man seg i stedet inn i spørsmål som har med kosmologi å gjøre.

Litteratur

• M.J. Greenberg: Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, W. H. Freeman, New York (2008). ISBN 978-0-71679948-1.
• G.E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, New York (1975). ISBN 0-387-90694-0.