Åpne hovedmenyen

Lambdakalkylen (også kjent som -kalkylen) er et formelt system innenfor informatikk, logikk og matematikk utviklet av Alonzo Church i 1930-årene. Formålet var å undersøke fundamentet for matematikk, men Stephen Kleene og J.B. Rosser viste i 1935 at systemet er, logisk sett, inkonsistent. I 1940 presenterte Alonzo Church et typesystem for lambdakalkylen som gir opphav til et konsistent system, men som begrenser beregnbarhetsstryket betraktelig.

Senere ble systemet forsket med som et fundament for beregninger, og Alan Turing viste i 1937 at lambdakalkylen er turingkomplett. I dag er det i denne forbindelse den utypete lambdakalkylen er mest kjent. Se typeteori for typede varianter av lambdakalkylen.

Formell definisjon av termerRediger

Termene til lambdakalkylen, i sin rene form, veldig enkle. Det er tre former for uttrykk: (1) variabler, (2) funksjoner, og (3) funksjonskall. Termene kan beskrives med en grammatikk som:

 .

Hvor variablene   hentes fra mengden  , og mengden av alle termer kalles  . Termen   representerer funksjonskall, hvor   er funksjonen, og   er argumentet. Dette skrives gjerne som   i konvensjonell matte. Termen   representerer en funksjon som tar ett argument og binder det til  , for så å regne ut verdien til kroppen  . I konvensjonell matte skriver kan man skrive dette som  . Termen   kalles ofte abstraksjon eller lambda-abstraksjon.


I utgangspunktet kan en term   tolkes på to måter,   og  . Men det er standard konvensjoner som sier:

  • Applikasjon binder mot venstre, altså skal   tolkes som  .
  • Skopet for abstraksjon binder så langt til høyre som mulig. For eksempel skal   tolkes som  .
  • Flere etterfølgende  -abstraksjoner slås sammen: f.eks. er   en forkortelse for  .

EksemplerRediger

Noen eksempler vi nå kan definere i den rene lambdakalkylen er:

  •  , identitesfunksjonen
  •   og   fra kombinatorisk logikk.
  •   som tar en funksjon og et argument, og sender argumentet to ganger gjennom funksjonen.

Hvis vi beveger oss bort fra den rene lambdakalkylen og godtar konstanter for tall og operasjoner som pluss, kan vi definere funksjoner slik som:

  •  , som er funksjonen som tar et tall og ganger med to.
  •  , som kvadrere et tall.

Det er viktig å merke seg at   ikke er en del av den rene lambdakalkylen, men er bare ment for gi navn til termer i metaspråket.

Fri- og bundede variableRediger

Lambda-abstraksjoner binder en variabel i skopet sitt. F.eks. i  , så bindes variablen   i termen  , men den bindes ikke i deltermen   . En variabel kan også forekommer fritt i en term: variabelen   er fri i termen  . En variabel kan både forekomme som bundet og fri i en term, men en gitt variabel på en gitt lokasjon i en gitt term er enten fri eller bundet, ikke begge deler.

Funksjonen   gir mengden av frie variabler som forekommer i en term, og er definert rekursivt over strukturen til termer, som:

  •  
  •  
  •  

SubstitusjonRediger

Substitusjon (eng: capture-avoiding substitution) er et viktig begrep i lambdakalkylen. Formålet med substitusjon er å bytte ut en variabel i en term med en annen term. For eksempel ønsker vi at det å bytte ut   med   i uttrykket   skal gi uttrykket  . I lambdakalkylen ønsker vi derfor å definere en funksjon  , som leses som bytt ut alle forekomster av   i   med  .

En naiv, tekstelig substitusjon vil bli feil, fordi variabler som forekommer fritt i   kan bli bundet hvis   settes rett inn i  . F.eks. vil   være feil, siden den tidligere frie variabelen   i   er blitt bundet i  .

I litteraturen beskrives flere måter å håndtere dette på. Den letteste måten er å definere substitusjon som en partiell funksjon som ikke gir noe svar dersom det blir navnekræsj, på følgende måte:

  •  
  •   når   og   er forskjellige
  •  
  •  
  •   gitt at  

En korrekt, total funksjon, endrer den siste regelen til:

  •   hvor  ,   og   er forskjellige, og  .

OmskrivningsreglerRediger

Termene vi definerte over har ikke blitt gitt noen formell mening. Historisk sett, så har det vært tre hovedregler som forteller hvordan man kan evaluere en term: alpha-konvertering ( ), beta-konvertering ( ) og eta-ekspansjon ( ).

Nedenfor vil forskjellige relasjoner bli definert, men disse vil kun gjelde for toppen av en term, og kan ikke brukes på deltermer. Anta derfor at vi har en relasjon   på termer, og vi kan så definere relasjonen   som følger:

  • hvis  , så  
  • hvis  , så  
  • hvis  , så  
  • hvis  , så  

Relasjonen   er dermed relasjonen som gjør ett  -steg på en del-term av  .

Fra en relasjon   kan man definere relasjonen   som gjør null eller flere R-steg, som er den refleksive og transitive tillukningen av  . Og videre kan man definere  , som er den refleksive, symmetriske, transitive tillukningen av  .

Alpha-konverteringRediger

Intuisjonen vår rundt variabler er at navnet til en lokal variabel er irrelevant, funksjonene   og   representerer samme funksjon. Alpha-regelen gjør det at man kan bytte om lokale navn formelt.

 

gitt at   ikke forekommer fritt i  .

Med unntak av noen få, især de som jobber med implementasjoner av programmeringspråk, så er det vanlig å alltid jobbe med lambda-termer modulo alpha-ekvivalens, altså på ekvivalensklasser av relasjonen  .

Beta-reduksjonRediger

Den viktigste regelen for lambdakalkylen er beta-reduksjon ( -redkusjon), som forteller hvordan en funksjon samhandler med et funksjonskall. Å kalle på en funksjon   med et argument   betyr at man setter inn argumentet   for variabelen   i kroppen,  , til funksjonen. Formelt skrives dette som:

 

hvor   er substitusjon av   for   i  .

En term   er på beta normalform hvis det ikke finnes noen   slik at  , og to termer   og   er beta-ekvivalente hvis  .

Eta-ekspansjonRediger

Eta-ekspansjon handler om ekstensionalitet, og sier at alle funksjoner beskrives ved hjelp av lambda-abstraksjon og applikasjon. Formelt er regelen

 

hvor   ikke forekommer fritt i  .

Egenskaper ved lambdakalkylenRediger

Lambdakalkylen er konfluent under beta-reduksjon. Mer presist: for alle  ,   og  , hvis   og  , så eksisterer en   slik at   og  

Lambdakalkylen er hverken svakt eller sterkt normaliserende (eng: weakly og strongly normalizing), ettersom f.eks. termen   ikke har noen beta normalform.

Koding av dataRediger

I den rene lambdakalkylen er det ingen data bortsett fra funksjoner. Det er likevel mulig å kode forskjellige datatyper som lambdatermer.

SannhetsverdierRediger

De bolske verdiene sann og usann kan kodes som følger:

  •  
  •  
  •  

Vi kan se at dette fungerer ved å se på hvordan   reduserer til  :

 .

Ordnede parRediger

Et par   sammen med to projeksjoner   og   kan defineres slik at   og  .

  •  , hvor   er en forkortelse for  .
  •  
  •  

Naturlige tallRediger

I Churchs koding av naturlige tall, så representeres et tall   som termen  , hvor   er definert som   og  . Intuisjonen er at tall   representeres ved en iterator som gitt en funksjon og et startverdi vil kalle på funksjonen   ganger med startverdien.

Det er mulig å definere funksjoner slik som pluss, minus, gange, og relasjoner som sammenligner tall.

LitteraturRediger

  • H. P. Barendregt. Lambda Calculus, Its Syntax and Semantics. North Holland, 1985. ISBN-10: 0444875085.