Lambdakalkyle
Lambdakalkulus eller lambdakalkylen[trenger referanse] (også kjent som -kalkylen) er et formelt system innenfor informatikk, logikk og matematikk utviklet av Alonzo Church i 1930-årene. Formålet var å undersøke fundamentet for matematikk, men Stephen Kleene og J.B. Rosser viste i 1935 at systemet er, logisk sett, inkonsistent. I 1940 presenterte Alonzo Church et typesystem for lambdakalkylen som gir opphav til et konsistent system, men som begrenser beregnbarhetsstryket betraktelig.
Senere ble systemet forsket med som et fundament for beregninger, og Alan Turing viste i 1937 at lambdakalkylen er turingkomplett. I dag er det i denne forbindelse den utypete lambdakalkylen er mest kjent. Se typeteori for typede varianter av lambdakalkylen.
Formell definisjon av termer
redigerTermene til lambdakalkylen, i sin rene form, veldig enkle. Det er tre former for uttrykk: (1) variabler, (2) funksjoner, og (3) funksjonskall. Termene kan beskrives med en grammatikk som:
- .
Hvor variablene hentes fra mengden , og mengden av alle termer kalles . Termen representerer funksjonskall, hvor er funksjonen, og er argumentet. Dette skrives gjerne som i konvensjonell matte. Termen representerer en funksjon som tar ett argument og binder det til , for så å regne ut verdien til kroppen . I konvensjonell matte kan man skrive dette som . Termen kalles ofte abstraksjon eller lambda-abstraksjon.
I utgangspunktet kan en term tolkes på to måter, og .
Men det er standard konvensjoner som sier:
- Applikasjon binder mot venstre, altså skal tolkes som .
- Skopet for abstraksjon binder så langt til høyre som mulig. For eksempel skal tolkes som .
- Flere etterfølgende -abstraksjoner slås sammen: f.eks. er en forkortelse for .
Eksempler
redigerNoen eksempler vi nå kan definere i den rene lambdakalkylen er:
- , identitesfunksjonen
- og fra kombinatorisk logikk.
- som tar en funksjon og et argument, og sender argumentet to ganger gjennom funksjonen.
Hvis vi beveger oss bort fra den rene lambdakalkylen og godtar konstanter for tall og operasjoner som pluss, kan vi definere funksjoner slik som:
- , som er funksjonen som tar et tall og ganger med to.
- , som kvadrere et tall.
Det er viktig å merke seg at ikke er en del av den rene lambdakalkylen, men er bare ment for gi navn til termer i metaspråket.
Fri- og bundede variable
redigerLambda-abstraksjoner binder en variabel i skopet sitt. F.eks. i , så bindes variablen i termen , men den bindes ikke i deltermen . En variabel kan også forekommer fritt i en term: variabelen er fri i termen . En variabel kan både forekomme som bundet og fri i en term, men en gitt variabel på en gitt lokasjon i en gitt term er enten fri eller bundet, ikke begge deler.
Funksjonen gir mengden av frie variabler som forekommer i en term, og er definert rekursivt over strukturen til termer, som:
Substitusjon
redigerSubstitusjon (eng: capture-avoiding substitution) er et viktig begrep i lambdakalkylen. Formålet med substitusjon er å bytte ut en variabel i en term med en annen term. For eksempel ønsker vi at det å bytte ut med i uttrykket skal gi uttrykket . I lambdakalkylen ønsker vi derfor å definere en funksjon , som leses som bytt ut alle forekomster av i med .
En naiv, tekstelig substitusjon vil bli feil, fordi variabler som forekommer fritt i kan bli bundet hvis settes rett inn i . F.eks. vil være feil, siden den tidligere frie variabelen i er blitt bundet i .
I litteraturen beskrives flere måter å håndtere dette på. Den letteste måten er å definere substitusjon som en partiell funksjon som ikke gir noe svar dersom det blir navnekræsj, på følgende måte:
- når og er forskjellige
- gitt at
En korrekt, total funksjon, endrer den siste regelen til:
- hvor , og er forskjellige, og .
Omskrivningsregler
redigerTermene vi definerte over har ikke blitt gitt noen formell mening. Historisk sett, så har det vært tre hovedregler som forteller hvordan man kan evaluere en term: alpha-konvertering ( ), beta-konvertering ( ) og eta-ekspansjon ( ).
Nedenfor vil forskjellige relasjoner bli definert, men disse vil kun gjelde for toppen av en term, og kan ikke brukes på deltermer. Anta derfor at vi har en relasjon på termer, og vi kan så definere relasjonen som følger:
- hvis , så
- hvis , så
- hvis , så
- hvis , så
Relasjonen er dermed relasjonen som gjør ett -steg på en del-term av .
Fra en relasjon kan man definere relasjonen som gjør null eller flere R-steg, som er den refleksive og transitive tillukningen av . Og videre kan man definere , som er den refleksive, symmetriske, transitive tillukningen av .
Alpha-konvertering
redigerIntuisjonen vår rundt variabler er at navnet til en lokal variabel er irrelevant, funksjonene og representerer samme funksjon. Alpha-regelen gjør det at man kan bytte om lokale navn formelt.
gitt at ikke forekommer fritt i .
Med unntak av noen få, især de som jobber med implementasjoner av programmeringspråk, så er det vanlig å alltid jobbe med lambda-termer modulo alpha-ekvivalens, altså på ekvivalensklasser av relasjonen .
Beta-reduksjon
redigerDen viktigste regelen for lambdakalkylen er beta-reduksjon ( -redkusjon), som forteller hvordan en funksjon samhandler med et funksjonskall. Å kalle på en funksjon med et argument betyr at man setter inn argumentet for variabelen i kroppen, , til funksjonen. Formelt skrives dette som:
hvor er substitusjon av for i .
En term er på beta normalform hvis det ikke finnes noen slik at , og to termer og er beta-ekvivalente hvis .
Eta-ekspansjon
redigerEta-ekspansjon handler om ekstensionalitet, og sier at alle funksjoner beskrives ved hjelp av lambda-abstraksjon og applikasjon. Formelt er regelen
hvor ikke forekommer fritt i .
Egenskaper ved lambdakalkylen
redigerLambdakalkylen er konfluent under beta-reduksjon. Mer presist: for alle , og , hvis og , så eksisterer en slik at og
Lambdakalkylen er hverken svakt eller sterkt normaliserende (eng: weakly og strongly normalizing), ettersom f.eks. termen ikke har noen beta normalform.
Koding av data
redigerI den rene lambdakalkylen er det ingen data bortsett fra funksjoner. Det er likevel mulig å kode forskjellige datatyper som lambdatermer.
Sannhetsverdier
redigerDe bolske verdiene sann og usann kan kodes som følger:
Vi kan se at dette fungerer ved å se på hvordan reduserer til :
- .
Ordnede par
redigerEt par sammen med to projeksjoner og kan defineres slik at og .
- , hvor er en forkortelse for .
Naturlige tall
redigerI Churchs koding av naturlige tall, så representeres et tall som termen , hvor er definert som og . Intuisjonen er at tall representeres ved en iterator som gitt en funksjon og et startverdi vil kalle på funksjonen ganger med startverdien.
Det er mulig å definere funksjoner slik som pluss, minus, gange, og relasjoner som sammenligner tall.
Litteratur
rediger- H. P. Barendregt. Lambda Calculus, Its Syntax and Semantics. North Holland, 1985. ISBN 0444875085.