Kaosteori

Kaosteori er en beskrivelse av visse ikke-lineære dynamiske systemer som er følsomme for små endringer i startvilkårene (populært kalt sommerfugleffekten). Kaotiske systemer vil oppføre seg tilsynelatende tilfeldig med en eksponentiell spredning av feil, selv om systemet er deterministisk på den måten at systemet er godt definert og ikke inneholder tilfeldige parametere. Eksempel på slike systemer er atmosfæren, solsystemet, platetektonikk, turbulens, økonomi, folkevekst og mange forskjellige dissipative strukturer.

Plott av trajektorier i et Lorenzsystem for verdier r = 28, σ = 10, b = 8/3

Systemer som er matematisk kaotiske, er deterministiske og har dermed en viss orden. Denne tekniske bruken av ordet kaos strider mot vanlig språkbruk der ordet kan bety total uorden. I fysikk har man et lignende felt kalt kvantekaosteori som studerer ikke-deterministiske systemer som følger kvantemekanikkens lover.

I tillegg til å ha orden i form av å være deterministisk, har kaotiske systemer vanligvis godt definert statistikk. For eksempel er Lorenzsystemet kaotisk, men har en klart definert struktur, som man kan se på figuren til høyre. Været er kaotisk, mens klimastatistikk ikke er det.

Historie

Ideen om kaos ble oppdaget i forbindelse med studiene av trelegemeproblemet, som handler om å finne bevegelsen til tre legemer som virker gjensidig på hverandre med en kraft. Det var særlig matematikerne Henri Poincaré og Joseph-Louis Lagrange som drev fram den tidlige kaosforskningen.

Likevel kom teorien til å etablere seg først i 1963, da Edward Lorenz så at hans enkle ikke-lineære modell av konveksjon i atmosfæren hadde svært ulike løsninger for nesten identiske startbetingelser. Dette fikk navnet kaos i 1975.

Lorenz oppsummerte kaos slik: Når det nåværende bestemmer det framtidige, men det omtrentlige nåværende ikke omtrentlig bestemmer det framtidige. Kaosteori sier ikke at den framtidige tilstanden til et kaotisk system er helt ukjent, men idet kaos inntreffer, vil løsningene begynne å spre seg så mye at de til slutt er helt ulike.

Kaotisk dynamikk

For at et dynamisk system skal være klassifisert som kaotisk vil de fleste forskere være enige om at følgende egenskaper må være til stede:

• det må være sensitivt til startvilkårene
• det må være topologisk blandet
• den periodiske banen til systemet må være tett.

Sensitiv til startvilkårene betyr at en vilkårlig liten endring i den opprinnelige trajektorien fører til en helt annen oppførsel framover i tid. Dette blir populært kalt «sommerfugleffekten», som antyder at når en sommerfugl slår med vingene sine i Tokyo og lager ørsmå endringer i atmosfæren, så kan det over tid føre til dannelsen av en tornado i Texas. Vingeslagene representerer de små endringene i startvilkårene til systemet, som er starten på en handlingsrekke som fører til storskala fenomen. Om ikke sommerfuglen hadde slått med vingene, kunne trajektoriene i systemet vært helt annerledes.

Topologisk blanding betyr at systemet vil utvikle seg over tid slik at et gitt område eller et åpent sett i faserommet til systemet etter hvert vil overlappe andre gitte områder. Her er «blanding» faktisk ment som nettopp det, for eksempel er blanding av to væsker med forskjellig farge et eksempel på et kaotisk system.

Se også

• Fraktal
• Kompleksitetsteori

Kilder

• Li, T. Y.(李天岩) and Yorke, J. A. "Period Three Implies Chaos." American Mathematical Monthly 82, 985-992, 1975.
• Ott, Edward (2002). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press New, York. ISBN 0-521-01084-5.
• Gutzwiller, Martin (1990). Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0-387-97173-4.
• Moon, Francis (1990). Chaotic and Fractal Dynamics. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0-471-54571-6.
• Tufillaro, Abbott, Reilly (1992). An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos. Addison-Wesley New York. ISBN 0-201-55441-0.
• Gollub, J. P.; Baker, G. L. (1996). Chaotic dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-47685-2.
• Baker, G. L. (1996). Chaos, Scattering and Statistical Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39511-9.
• Alligood, K. T. (1997). Chaos: an introduction to dynamical systems. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0-387-94677-2.
• Kiel, L. Douglas; Elliott, Euel W. (1997). Chaos Theory in the Social Sciences. Perseus Publishing. ISBN 0-472-08472-0.
• Strogatz, Steven (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Publishing. ISBN 0-7382-0453-6.
• Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 0-19-850840-9.
• Hoover, William Graham (1999,2001). Time Reversibility, Computer Simulation, and Chaos. World Scientific. ISBN 981-02-4073-2.
• Devaney, Robert L. (2003). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd ed,. Westview Press. ISBN 0-8133-4085-3.
• The Beauty of Fractals, by H.-O. Peitgen and P.H. Richter
• Chance and Chaos, by David Ruelle
• Computers, Pattern, Chaos, and Beauty, by Clifford A. Pickover
• Fractals, by Hans Lauwerier
• Fractals Everywhere, by Michael Barnsley
• Order Out of Chaos, by Ilya Prigogine and Isabelle Stengers
• Chaos and Life, by Richard J Bird
• Does God Play Dice?, by Ian Stewart
• The Science of Fractal Images, by Heinz-Otto Peitgen and Dietmar Saupe, Eds.
• Explaining Chaos, by Peter Smith
• Chaos: Making a New Science, New York: Penguin, by James Gleick
• Complexity, by M. Mitchell Waldrop
• Chaos, Fractals and Self-organisation, by Arvind Kumar
• Chaotic Evolution and Strange Attractors, by David Ruelle
• Sync: The emerging science of spontaneous order, by Steven Strogatz
• The Essence of Chaos, by Edward Lorenz
• Deep Simplicity, by John Gribbin
• The Road To Chaos, by Yoshisuke Ueda
• The Chaos Avant-Garde: Memoirs of the Early Days of Chaos Theory, Edited by Ralph H. Abraham and Yoshisuke Ueda
• From Random Walks to Chaotic Crashes: The Linear Genealogy of the Efficient Capital Market Hypothesis, by Lawrence A. Cunningham
• Chaos Theory in the Social Sciences, edited by L Douglas Kiel, Euel W Elliott.