Åpne hovedmenyen
Flere betydninger:Forventning (psykologi)

Forventning eller forventningsverdi er en størrelse innen sannsynlighetsregning. Forventningen til en stokastisk variabel er en verdi, slik at hvis man gjentar eksperimentet som ligger til grunn for variabelen mange ganger, vil gjennomsnittet av utfallene nærme seg forventningen. I det diskrete tilfellet er forventningen lik summen av sannsynligheten for hvert utfall, multiplisert med verdien av dette utfallet.

For en stokastisk variabel X, skriver man E[X] for forventningsverdien til X.

Innhold

DefinisjonRediger

Forventningsverdien til en diskret stokastisk variabelRediger

Hvis X er en diskret stokastisk variabel, og antar verdiene x1, x2, ... med sannsynlighet henholdsvis p1, p2, ... så er forventningsverdien E(X) gitt ved

 

Hvis X kan anta tellbart uendelig mange forskjellige verdier, er denne summen en uendelig rekke. I dette tilfellet eksisterer forventningsverdien E[X] bare hvis denne rekken konvergerer absolutt.

Forventningsverdien til en stokastisk variabel med tetthetsfunksjonRediger

Hvis en stokastisk variabel X har tetthetsfunksjon f(x), er forventningsverdien gitt ved

 

Forventningsverdien eksisterer bare hvis integralet   konvergerer.

Generell definisjonRediger

Generelt blir forventningsverdien definert som følger: Hvis X er en P-integrerbar stokastisk variabel fra et sannsynlighetsrom (Ω, Σ, P) til  , der B er den borelske σ-algebra over   så defineres

 

Empirisk forventningRediger

Den empiriske motsatsen til forventning er gjennomsnittet. Forventning estimeres ofte ved gjennomsnitt og trimmet gjennomsnitt og for symmetriske fordelinger også ved medianen.

EgenskaperRediger

Forventning er en lineær operator, så for vilkårlige konstanter   og   og en stokastisk variabel   gjelder

 

EksemplerRediger

Et eksempel på en diskret stokastisk variabel er gjennomsnittsresultatet av en lang serie med kast (100 eller flere) med en terning med 1-6 «øyne» på sidene. Er terningen rett, dvs. riktig balansert, har hver av sidene sannsynligheten 1/6 for å vises. Forventet antall øyne blir da 1/6 x 1 + 1/6 x 2 + 1/6 x 3 + 1/6 x 4 + 1/6 x 5 + 1/6 x 6 = 3,5.