Eksaktverdier eller eksakte verdier er matematiske størrelser som er angitt helt presist,[1] heltall uttrykkes ofte ved hjelp av brøker, rotuttrykk, som kjente konstanter eller ved andre funksjoner, som for eksempel 1 / 3
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
π
{\displaystyle \pi }
ln
2
{\displaystyle \ln 2}
Ved å bruke eksaktverdier unngår man å miste presisjon, og man kan bruke verdiene videre i andre beregninger uten å ta hensyn til eventuelle unøyaktigheter.
Eksempler på eksakte løsninger
rediger
Begrepet lar seg best forklare med eksempler, med moteksempler.
Finn
sin
π
4
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}}
Eksakt løsning
Tilnærmet løsning
sin
π
4
=
2
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}
sin
π
4
≈
0
,
71
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}\approx 0,71}
Finn arealet av en likesidet trekant med areal 2.
En likesidet trekant har areal
A
=
3
4
s
2
{\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}}
Eksakt løsning
Tilnærmet løsning
A
=
3
4
2
2
=
3
{\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}2^{2}={\sqrt {3}}}
A
=
3
4
2
2
=
3
≈
1
,
73
{\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}2^{2}={\sqrt {3}}\approx 1,73}
Regn ut
x
{\displaystyle x}
2
=
e
x
{\displaystyle 2=e^{x}}
Eksakt løsning
Tilnærmet løsning
2
=
e
x
x
=
ln
2
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}2&=e^{x}\\x&=\ln {2}\end{alignedat}}}
2
=
e
x
x
=
ln
2
x
≈
0
,
69
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}2&=e^{x}\\x&=\ln {2}\\x&\approx 0,69\end{alignedat}}}
Bestem integralet
∫
0
1
x
2
d
x
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{2}dx}
Eksakt løsning
Numerisk løsning (trapesmetoden 2 punkter)
Numerisk løsning (trapesmetoden 3 punkter)
∫
0
1
x
2
d
x
=
[
x
3
3
]
0
1
=
1
3
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{2}dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{3}}}
∫
0
1
x
2
d
x
≈
(
0
+
1
)
[
1
2
]
=
0
,
5
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}dx\approx (0+1)\left[{\frac {1}{2}}\right]=0,5}
∫
0
1
x
2
d
x
≈
(
0
+
2
⋅
0
,
25
+
1
)
[
0
,
5
2
]
=
0
,
375
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}dx\approx (0+2\cdot 0,25+1)\left[{\frac {0,5}{2}}\right]=0,375}
Regn ut
72
108
{\displaystyle {\frac {72}{108}}}
Eksakt løsning (forkorting av brøk)
Tilnærmet løsning
72
108
=
2
3
{\displaystyle {\frac {72}{108}}={\frac {2}{3}}}
72
108
≈
0
,
67
{\displaystyle {\frac {72}{108}}\approx 0,67}
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{2}dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10e35b6c65148716c3287f1a6f2ec8109316a66)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}dx\approx (0+1)\left[{\frac {1}{2}}\right]=0,5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a50f02295661ff2f38364c78b94ba58ff7b962)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}dx\approx (0+2\cdot 0,25+1)\left[{\frac {0,5}{2}}\right]=0,375}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86e60bd2063705f2eca3e56a152d9ea1583a12a)
