Einsteins strålingskoeffisienter

Einsteins strålingskoeffisienter er størrelser som beskriver sannsynligheten for at et atom eller molekyl skal absorbere eller emittere elektromagnetisk stråling. De ble innført av Einstein i 1917 og ga en ny forståelse av Plancks strålingslov. Resultatet betydde en viktig sammenheng mellom emisjon og absorpsjon og viste at utsendelse av stråling også kan foregå ved indusert emisjon. Dette fenomenet ligger til grunn for all laserfysikk.

Emisjon og absorpsjon med to energinivå *E_m* og *E_n*.

Strålingskoeffisientene uttrykker sannsynligheten for at et atomært system kan gå fra en tilstand til en annen tilstand. De understreker derfor betydningen av sannsynligheter i slike prosesser og fikk sin fulle forklaring noen få år senere ved etableringen av moderne kvantemekanikk.

Beskrivelse

Einstein fikk nobelprisen i fysikk for sin forklaring av den fotoelektriske effekt som han gjorde i 1905. Ved bruk av termodynamiske argument og Plancks strålingslov hadde han vist at elektromagnetisk stråling kan beskrives som om den består av partikler som i ettertid blir kalt fotoner.

Hvordan slik stråling kunne beskrives både som elektromagentiske bølger og lokaliserte partikler var likevel svært problematisk. Etter at Einstein hadde utarbeidet sin generelle relativitetsteori i 1916, ville han igjen ta opp dette problemet. Denne gangen benyttet han også statistiske argument, men nå på vekselvirkningen mellom stråling og materie i form av atomer.^[1]

Definisjoner

Spontan emisjon av stråling.

På grunn av vekselvirkningen med strålingen vil atomene befinne seg i mange forskjellige tilstander og stadig skifte mellom disse. Hvis N_m er antall atom som har energien E_m, vil dette antallet variere med tiden på grunn av at de spontant kan gå over til lavere tilstander. I analogi med radioaktivt henfall antok Einstein at dette kunne beskrives på lignende måte. Mer presist betraktet han antall overganger fra et nivå E_m til et lavere nivå med energi E_n, Antall overganger per sekund vil da i gjennomsnitt kunne skrives som

{dN_{m} \over dt}|_{spontan}=-AN_{m}

hvor A er en atomær konstant uavhengig av eksterne faktorer som temperatur og lignende. Hvis det ikke fantes noe annen stråling, ville antallet i den øvre tilstanden derfor avta eksponensielt som $N_{m}(t)=N_{m}(0)\,e^{-At}$ hvor 1/A angir midlere levetid for tilstanden.^[2]

Absorpsjon av stråling.

Hvis nå atomene vekselvirker med elektromagnetisk stråling, vil noe av denne kunne absorberes ved at atomer i det lavere energnivå E_n eksisteres opp til nivået E_m. Einstein antok at denne overgangen var proporsjonal med energitettheten u til strålingen. Antall slike eksitasjoner per sekund kan derfor skrives som

{dN_{n} \over dt}|_{absorb}=-BuN_{n}

hvor B er ny strålingskoeffisient som bare avhenger av atomære forhold. Denne prosessen bidrar til å øke antall atomer N_m i øvre nivå.

Stimulert emisjon av stråling.

I sitt arbeid fra 1917 argumenterte Einstein med at strålingen også måtte påvirke atomene på samme vis i det øvre nivået til å gå over til nedre nivå.^[3] Dermed vil dette antallet få en ekstra reduksjon som sies å være «indusert». Denne overgangen skjer da med gjennomsnittlig hastighet

{dN_{m} \over dt}|_{indusert}=-CuN_{m}

hvor C er den tredje, atomære strålingskoeffisienten. Da Einstein gjorde disse betraktningene, var det ennå ikke mulig å beregne disse størrelsene fra den halv-klassiske kvantefysikken som på den tiden eksisterte.^[4]

Termisk likevekt

Når strålingen er i termisk likevekt med alle atomene, må i gjennomsnitt like mange overganger skje fra nedre til øvre energinivå som omvendt. Ved en gitt temperatur T har man derfor betingelsen

(A+Cu)N_{m}=BuN_{n}

hvor energitettheten u = u (T). Fra statistisk mekanikk er forholdet mellom antall atomer i disse to nivåene også avhengig av temperaturen og gitt som

{N_{m} \over N_{n}}=e^{-(E_{m}-E_{n})/k_{B}T}

der k_B er Boltzmanns konstant. Ved svært høye temperaturer vil derfor disse to antallene nærme seg hverandre. Samtidig stiger energitettheten u veldig raskt med økende temperatur. For at likevektsbetingelsen alltid skal være gyldig, må man derfor ha B = C. Den kan da omskrives til å gi resultatet

u={A/B \over e^{(E_{m}-E_{n})/k_{B}T}-1}

Den har nøyaktig samme form som Plancks formel for energitettheten i varmestråling. En sammenligning gir da frekvensen

h\nu =\hbar \omega =E_{m}-E_{n}

på strålingen i overensstemmelse med hva Bohr antok i sin atommodell.

Forholdet A/B mellom strålingskoeffisientene kan også finnes fra Plancks formel. Uttrykkes den ved frekvensen ν, blir^[2]

{A \over B}={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}

Hvis man i stedet hadde benyttet vinkelfrekvensen ω = 2π ν, ville man få^[4]

{A \over B}={\hbar \omega ^{3} \over \pi ^{2}c^{3}}

Med etablering av moderne kvantemekanikk og kvantisering av elektromagnetisk stråling kunne Paul Dirac i 1927 beregne disse to koeffisientene og vise at deres forhold var i overensstemmelse med Einstein utledning.^[1]

Utvidet notasjon

Strålingskoeffisientene opptrer i litteraturen med forskjellige notasjoner. Det kan føres tilbake til Einsteins originale arbeid hvor de var gitt indekser som henviser til navnene på de to energinivåene. Det kan for eksempel gjøres ved omskrivningen $A\rightarrow A_{nm}$ . Når man i så fall leser indeksene fra høyre mot venstre, vil det indikere en overgang m → n. Da vil man videre ha $B\rightarrow B_{mn}$ og derfor $C\rightarrow B_{nm}$ fordi begge overgangene skyldes den eksterne strålingen.^[5]

I tillegg tok Einstein med at energinivåene kunne være degenererte, det vil si inneholde flere kvantetilstander med samme energi. Hvis man i så fall benevner degenerasjonsgraden til øvre nivå som g_m og g_n for nedre nivå, vil forholdet mellom antall atomer i de to nivåene forandres til

{N_{m} \over N_{n}}={g_{m} \over g_{n}}e^{-(E_{m}-E_{n})/k_{B}T}

Med denne utvidete notasjonen vil likevektsbetingelsen skrives som

(A_{nm}+B_{nm}u)N_{m}=B_{mn}uN_{n}

Ved å gå gjennom samme argumentasjon som tidligere, kommer man frem til

g_{n}B_{mn}=g_{m}B_{nm}

Det gir nå

u={A_{nm}/B_{nm} \over e^{(E_{m}-E_{n})/k_{B}T}-1}

som igjen er Plancks formel. Ved en kvantemekanisk beregning av strålingskoeffisientene kan man også bestemme degerasjonsgraden til de forskjellige energinivåene.^[6]

Referanser

^ ^a ^b A. Pais, Inward Bound, Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.
^ ^a ^b J.J. Brehm and W.J. Mullin, Introduction to the Structure of Matter, John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.
^ A. Einstein: Zur Quantentheorie der Strahlung Physikalische Zeitschrift 18, 121-128 (1917).
^ ^a ^b E. Fermi, Notes on Quantum Mechanics, University of Chicago Press, Chicago (1961).
^ S. Weinberg, Lectures on Quantum Mechanics, Cambridge University Press, England (2015). ISBN 978-1-107-11166-0.
^ M. Wessbluth, Atoms and Molecules, Academic Press, New York (1978). ISBN 0-12-744452-1.

Eksterne lenker

ChemLibreTexts, The Interaction of Light with Atoms, websider med teori for laserfysikk.
Youtube, Einstein's argument: the need for spontaneous emission, MIT forelesning.

[Pais-1] A. Pais, Inward Bound, Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.

[BM-2] J.J. Brehm and W.J. Mullin, Introduction to the Structure of Matter, John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.

[Einstein-3] A. Einstein: Zur Quantentheorie der Strahlung Physikalische Zeitschrift 18, 121-128 (1917).

[Fermi-4] E. Fermi, Notes on Quantum Mechanics, University of Chicago Press, Chicago (1961).

[Weinberg-5] S. Weinberg, Lectures on Quantum Mechanics, Cambridge University Press, England (2015). ISBN 978-1-107-11166-0.

[Wessbluth-6] M. Wessbluth, Atoms and Molecules, Academic Press, New York (1978). ISBN 0-12-744452-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]