I kvantemekanikk, for systemer der det totale antall partikler ikke kan bevares, er nummeroperatøren den observerbare som teller antall partikler.
Nummeroperatøren handler på Fock space. La
![{\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0ff9891622072b0ce8bfd3e50d8f4b64247d22)
være en Fock-tilstand, sammensatt av tilstander med en partikkel
tegnet fra et grunnlag av det underliggende Hilbert-rommet i Fock-rommet. Gitt de tilsvarende etablerings- og utslettelsesoperatørene
og
vi definerer nummeroperatøren etter
![{\displaystyle {\hat {N_{i}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0205f44ee8f83bcf92f54f53cbab8c6104ff8a97)
og vi har
![{\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5dacc7e23cd9d056e35b4dfebaa4b7b17af0204)
hvor
er antallet partikler i tilstand
. Ovennevnte likhet kan bevises ved å merke seg det
![{\displaystyle {\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d384eb190f81a040dea5c10578ab02c35e38de)
dermed[1][2]
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98310890f4659f69de8c7367a30cdba87a8ff5d)