Parallellakseteoremet

Parallellakseteoremet også kjent som Steiners sats (etter Jakob Steiner), brukes i fysikk til å beregne treghetsmoment til et generelt legeme som ikke har massefellespunkt på rotasjonsaksen.

Bevis

Generelt legeme (grønn), Rotasjonsakse (svart) rundt origo, Flytter origo til cm (massefellespunkt) (rød)

Treghetsmomentet til et lite masseelement, dm, med kordinatene (x,y) når origo er i rotasjonsaksen. Treghetsmomentet er:

$I=\int r^{2}dm=\int (X^{2}+Y^{2})dm$

Kordinatene til dm etter at origo er flyttet:

$\ X=x_{cm}+x'$

$\ Y=y_{cm}+y'$

Settes dette inn i første ligning får vi:

$I=\int [(x_{cm}+x')^{2}+(y_{cm}+y')^{2}]dm$

$I=\int (x'^{2}+y'^{2})dm+2x_{cm}\int x'dm+2y_{cm}\int y'dm+(x_{cm}^{2}+y_{cm}^{2})\int dm$

Ettersom at aksen er nå plassert i objektets massesenter får vi:

$\int x'dm=\int y'dm=0$

Da står vi igjen med:

$I=\int (x'^{2}+y'^{2})dm+(x_{cm}^{2}+y_{cm}^{2})\int dm$

Som kan skrives:

$\ I=I_{cm}+MD^{2}$,

der M er massen til hele legemet, og D er avstanden fra den opprinnelige rotasjonsaksen til massesenteret.