Omvendt funksjonsteorem

matematisk begrep

I matematisk analyse gir det omvendt funksjonsteorem betingelser for når en funksjon har en lokal invers. Teoremet gir også en formel for den deriverte til den omvendte funksjonen.

Formulering av teoremetRediger

Teoremet finnes i to versjoner, én i en-variabel-analyse, og en i fler-variabel-analyse. For funksjoner med én variabel sier teoremet følgende: Anta at   er en kontinuerlig funksjon med kontinuerlige deriverte, og at   i et punkt  . Da finnes en omegn   om   slik at   restringert til   er injektiv, og slik at om   er verdimengden til  , så er den omvendte funksjonen   kontinuerlig deriverbar, og tilfredsstiller

 

For funksjoner av flere variabler er påstanden helt analog. Den er som følger: Anta at   er en åpen mengde og at   har kontinuerlige partiellderiverte. Anta at   og at Jacobi-matrisen   er inverterbar. Da finnes en åpen omegn   om   slik at   restringert til   er injektiv. Verdimengden   til denne restriksjonen er en omegn om  , og den omvendte funksjonen   er deriverbar i   med Jacobi-matrise

 

EksempelRediger

Vi tar et eksempel med en funksjon med to variable. La   være definert ved  . Vi skal undersøke om funksjonen er inverterbar nær punktet  . Jacobi-matrisen gitt ved

 

Dermed er Jacobi-determinanten gitt ved  . Setter vi inn for  , får vi at determinanten er ikke-null. Det følger da fra teoremet at det finnes en omegn om   slik at funksjonen er lokalt inverterbar. Den deriverte til den omvendte funksjonen er gitt ved  , som er

 

Dette viser at funksjonen har en lokal invers, men den har ingen global invers. Spesielt er funksjoner som har en global invers injektive, noe denne funksjonen ikke er. For å se dette, legg merke til at om  , så er  , så funksjonen kan ikke være injektiv.

ReferanserRediger

  • Lindstrøm, Tom og Hveberg, Klara (2011). Flervariabel analyse med lineær algebra. Harlow: Pearson Education Limited. ISBN 978-0-273-73813-8.