Metamatematikk

Metamatematikk er den matematiske betraktningen av matematikkens grunnlag. Fokus i metamatematikken er blant annet på å finne ut hva man kan bevise med matematiske systemer.

Metamatematikk er sterkt knyttet til matematisk logikk, og historien til disse to feltene overlapper hverandre i stor grad. En regner ofte med at det var den tyske matematikeren Gottlob Frege som startet med de første metamatematiske refleksjoner. I 1920 presenterte så matematikeren David Hilbert følgende utfordring: Er det mulig å sette opp et fullstendig og motsetningsfritt aksiomsystem som grunnlag for matematikken? Dette arbeidet ble kjent som Hilberts program, og dette arbeidet med å analysere matematikkens grunnlag satte sitt preg på metamatematikken. Arbeidet med Hilberts program fikk en alvorlig knekk da logikeren Kurt Gødel presenterte sitt ufullstendighetsteorem. Her beviste han at det ikke er mulig å lage noe aksiomsystem som oppfyller alle kravene til Hilbert.

Senere har det blitt gjort mer eller mindre vellykkede forsøk på å sette opp motsetningsfrie aksiomsystem for avgrensede deler av matematikken. Etter viktige bidrag fra blant andre den norske matematikeren Thoralf Skolem, klarte den tyske matematikeren Gerhard Gentzen å formulere et bevis for at den såkalte Peano-aritmetikken var motsetningsfri.

Kjente metamatematikere

• Gottlob Frege
• Kurt Gødel
• David Hilbert
• Bertrand Russell
• Thoralf Skolem

Litteratur

• Hofstadter, Douglas R. (1999). Gödel, Escher, Bach : an eternal golden braid. New York: Basic Books. ISBN 0-465-02656-7. 

• Kleene, Stephen Cole (1952). Introduction to metamathematics. New York: Van Nostrand.