Generell lineær modell

Den generelle lineære modellen eller multivariat regresjonsmodel er en statistisk lineær modell. Den kan bli skevet som

$\mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,$

hvor $Y$ er en matrise med multivariate målingsserier (hver kolonne er et målingssett på en av de avhengige variablene), $X$ er en matrise med observasjoner av uavhengige variabler som kan være en designmatrise (hver kolonne er et sett observasjoner på en av de avhengige variablene), $B$ er en matrise som inneholder parametere som vanligvis estimeres og $U$ er en matrise som inneholder feil (støy). Feilene er vanligvis antatt å være ukorrelerte på tvers av målinger og følger en multivariat normalforderling. Hvis feilene ikke følger en multivariat normalfordeling kan generaliserte lineære modeller bli brukt for å slakke antakelsene om $Y$ og $U$.

Den generelle lineære modellen innlemmer flere ulike statistiske modeller: ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA, vanlig lineær regresjon, t-tester og F-tester. Den generelle lineære modellen er en generalisering av en multippel lineær regresjonsmodell i tilfeller med flere enn en avhengig variabel. Hvis $Y$, $B$ og $U$ var kolonnevektorer ville matriselikningen over forestillt en multippel lineær regresjon.

Hypotesetester med den generelle lineære modellen kan bli gjort på to måter: multivariat eller som flere uavhengige univariate tester. I multivariate tester er $Y$s kolonner testet sammen, mens i univariate tester er $Y$s kolonner testet separat, i.e. som flere univariate tester med den samme designmatrisen.

Multippel lineær regresjon

Multippel lineær regresjon er en generalisering av en lineær regresjon ved å vurdere flere enn én avhengig variabel, og et spesielt tilfelle i formingen av generelle lineære modeller ved å begrense antallet avhengige variabler til en. Den grunnleggende modellen for lineær regresjon er

$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\epsilon _{i}.$

I formelen over vurderer vi n observasjoner av en avhengig variabel og p uavhengige variabler. Dermed er $Y_{i}$ den $i$-ende observasjonen av den avhengige variabelen, $X_{ij}$ den $i$-ende observasjonen av den $j$-ende uavhengige variabelen, $j=1,2,...,p$. Verdiene $\beta _{j}$ representerer parametrene som skal estimeres, og $\epsilon _{i}$ er den $i$-ende uavhengige, identiskfordelte normalfeilen.

Bruksområder

En generell lineær modells bruksområde kan for eksempel fremkomme i analysen av hjernescanninger i forskningseksperimenter, hvor $Y$ inneholder data fra hjernescannere og $X$ inneholder eksperimentelle designvariabler og -forvekslinger. Den er vanligvis testet univariat, og er ofte henvist til som statistisk parameterkartlegging.

Se også

• Bayesiansk multivariat lineær regresjon
• Sammenlikning av generelle og generaliserte lineære modeller

Litteratur

• Christensen, Ronald (2002). Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models (Third utg.). New York: Springer. ISBN 0-387-95361-2. 
• Wichura, Michael J. (2006). The coordinate-free approach to linear models. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. s. xiv+199. ISBN 978-0-521-86842-6. MR 2283455. 
• Rawlings, John O.; Pantula, Sastry G.; Dickey, David A., red. (1998). «Applied Regression Analysis». Springer Texts in Statistics. doi:10.1007/b98890.