Ekvikontinuitet

Ekvikontinuitet beskriver en egenskap som kan tilordnes en familie av funksjoner. En familie av funksjoner sies å være ekvikontinuerlig dersom alle funksjonene er kontinuerlige og har lik variasjon i en gitt omegn.

Ekvikontinuitet angis som en betingelse i Arzelà–Ascolis teorem, som gir nødvendige og tilstrekkelige betingelser for når en gitt familie av reelle kontinuerlige funksjoner har en uniformt konvergent delfølge.

Definisjon

Hvis $X,Y$ er topologiske rom, $C(X)$ mengden av kontinuerlige funksjoner fra $X$ til $Y$ og $F\subseteq C(X)$ (en mengde kontinuerlige funksjoner $f:X\to Y$, sies $F$ å være ekvikontinuerlig i x dersom, for alle $\epsilon >0$ og alle $x\in X$, finnes en omegn $U$ rundt $x$ slik at

$|f(x)-f(y)|<\epsilon$

for alle $y\in U$ og alle $f\in F$. $F$ sies å være ekvikontinuerlig dersom $F$ er ekvikontinuerlig i $x$ for alle $x\in X$.