En binom er i matematikk et polynom som er summen av to monomer . Generelt kan et binom skrives som
a
x
1
e
1
x
2
e
2
⋯
x
k
e
k
+
b
x
1
f
1
⋯
x
k
f
k
{\displaystyle ax_{1}^{e_{1}}x_{2}^{e_{2}}\cdots x_{k}^{e_{k}}+bx_{1}^{f_{1}}\cdots x_{k}^{f_{k}}}
der
a
,
b
≠
0
{\displaystyle a,b\neq 0}
er koeffisienter ,
k
{\displaystyle k}
et positivt heltall,
e
1
,
…
,
e
k
,
f
1
,
…
,
f
k
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{k},f_{1},\ldots ,f_{k}}
ikke-negative heltall og
x
1
,
x
2
,
…
,
x
k
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}
variabler . Gitt at koeffisientene
a
,
b
{\displaystyle a,b}
er elementer i en ring
R
{\displaystyle R}
utgjør binomene en delmengde av polynomringen
R
[
x
1
,
.
.
.
,
x
k
]
{\displaystyle R[x_{1},...,x_{k}]}
.
x
+
y
{\displaystyle x+y}
.
x
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
3
x
2
−
2
y
z
{\displaystyle 3x^{2}-2yz}
x
n
−
y
n
{\displaystyle x^{n}-y^{n}}
Operasjoner med binomer
rediger
Binomene følger de generelle regnereglene for polynomer, men binomene er ikke lukket for addisjon og multiplikasjon.
Produktet av en binom og en monom er en binom. For eksempel er
(
4
x
−
6
y
)
⋅
3
x
=
12
x
2
−
18
x
y
{\displaystyle (4x-6y)\cdot 3x=12x^{2}-18xy}
.
Produktet av to binomer er generelt ikke en binom. For eksempel er
(
a
x
+
b
)
(
c
x
+
d
)
=
a
c
x
2
+
(
a
d
+
b
c
)
x
+
b
d
{\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}
en trinom.
Binomialsetningen: Binomen
x
+
y
{\displaystyle x+y}
opphøyd i
n
{\displaystyle n}
-te kan skrives som
(
x
+
y
)
n
=
∑
i
=
1
n
(
n
i
)
x
i
y
n
−
i
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}}
.
Kvadratsetningene:
(
x
±
y
)
2
=
x
2
±
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x\pm y)^{2}=x^{2}\pm 2xy+y^{2}}
.
Konjugatsetningen: Binomen
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
kan faktoriseres som et produkt av to binomer:
x
2
−
y
2
=
(
x
−
y
)
(
x
+
y
)
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)}
.
Mer generelt er
x
n
−
y
n
=
(
x
−
y
)
(
x
n
−
1
+
x
n
−
2
y
+
…
+
x
y
n
−
2
+
y
n
−
1
)
{\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\ldots +xy^{n-2}+y^{n-1})}