Retningsderivert

En retningsderivert angir hvordan en flervariabelfunksjon i et punkt på en mangfoldighet varierer i forskjellige retninger som bestemmes av en vektor i det samme punktet. Den er en utvidelse av den mer vanlige partiellderiverte og er direkte relatert til gradienten av funksjonen.

Den retningsderivert beskriver hvordan en funksjon varierer i forskjellige retninger i rom med flere dimensjoner.

Definisjon

Det eksisterer forskjellige notasjoner for den retningsderiverte.Ofte angis den ved bruk av nabla-symbolet. Den er definert på tilsvarende måte som derivasjon av funksjoner med en enkelt variabel. I et punkt x med koordinatene (x¹, x², .. , xⁿ) på en n-dimensjonal mangfoldighet og i en retning angitt ved tangentvektoren v, er den retningsderiverte av en funksjon F(x) gitt som

${\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }F(\mathbf {x} )=\lim _{t\to 0}{1 \over t}{\big [}F(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-F(\mathbf {x} ){\big ]}$

Ved å benytte gradientoperatoren som gjør det mulig å skrive $F(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )=F(\mathbf {x} )+t\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}F(\mathbf {x} )$ i grensen der parameteren t → 0, har man dermed den fundamentale sammenhengen

${\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }F(\mathbf {x} )=\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}F(\mathbf {x} )$

Hvis man har en annen funksjon G(x), vil det fra definisjonen følge at den retningsderivert har de viktige egenskapene

${\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }(aF+bG)=a{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }F+b{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }G$

hvor a og b er konstanter. Likedan er produktregelen

${\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }(FG)=({\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }F)G+F{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }G$

oppfylt. Dette er også en direkte konsekvens av egenskapene til gradienten.

På en generell mangfoldighet vil tangentvektoren beskrive et vektorfelt v(x) med komponenter som i alminnelighet varierer med koordinatene til det gitte punktet. Den gitte definisjonen og egenskapene til den retningsderiverte vil likevel være gitt på samme måte som her når den virker på skalare funksjoner. Retningsderiverte av vektorer eller tensorer kan defineres ved kovariant derivasjon eller ved Lie-derivasjon.

Annen notasjon

Den deriverte av en funksjon $F(x)$ skrives vanligvis som $dF/dx$, men skrivemåten $F'(x)$, $D_{x}F(x)$ eller lignende benyttes også.

På samme vis finnes det flere notasjoner for den retningsderivert. I stedet for ${\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }F(\mathbf {x} )$, benyttes $\partial _{\mathbf {v} }F(\mathbf {x} )$ eller $D_{\mathbf {v} }F(\mathbf {x} )$. Men alternative skrivemåter som $F'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )$, $F'(\mathbf {x} ;\mathbf {v} )$ eller $DF(\mathbf {x} ;\mathbf {v} )$ kan også opptre. De tilsvarer notasjonen $\mathbf {d} F(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )$ som benyttes der gradienten beskrives som en differensialform.

Eksempel

En funksjon $F=x^{2}y+2xz$ er gitt. Den deriverte i punktet $\mathbf {x} =(1,3,-2)$ i retning $\mathbf {v} =2\mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{y}+2\mathbf {e} _{z}$ skal beregnes. Gradienten finnes ved direkte derivasjon og blir ${\boldsymbol {\nabla }}F=(2xy+2z)\mathbf {e} _{x}+x^{2}\mathbf {e} _{y}+2x\mathbf {e} _{z}$. I det gitte punktet er den derfor ${\boldsymbol {\nabla }}F(1,3,-2)=2\mathbf {e} _{x}+\mathbf {e} _{y}+2\mathbf {e} _{z}$ slik at

${\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }F(1,2,-1)=(2\mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{y}+2\mathbf {e} _{z})\cdot (2\mathbf {e} _{x}+\mathbf {e} _{y}+2\mathbf {e} _{z})=4-1+4=7$.

Da resultatet er positivt, vil funksjonen i dette punktet øke i retningen gitt ved v. Den deriverte i andre retninger følger på samme måte og vil generelt ta andre verdier.

Tangentvektorer som retningsderiverte

Retningen i et punkt $\mathbf {x}$ på mangfoldigheten er gitt ved tangentvektoren $\mathbf {v}$. Hvis $v^{k}$ betegner dens komponenter og $\mathbf {e} _{k}$ er basisvektorene på mangfoldigheten, kan retningsvektoren skrives som $\mathbf {v} =v^{k}\mathbf {e} _{k}$ der man med Einsteins summekonvensjon summerer over de to like indeksene fra 1 til n som er mangfoldighetens dimensjon. På samme måte kan gradienten skrives som ${\boldsymbol {\nabla }}F=\mathbf {e} ^{k}\partial _{k}F$ når de duale basisvektorene er $\mathbf {e} ^{k}$. De gir opphav til et indreprodukt $\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}$ når det uttrykkes ved Kronecker-deltaet.

Lineæritet

Hvis nå $\mathbf {u}$ er en annen vektor i samme punkt som $\mathbf {v}$, vil den deriverte i den nye retningen $\mathbf {w} =a\mathbf {u} +b\mathbf {v}$ være

${\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {w} }F=(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )\cdot {\boldsymbol {\nabla }}F=a{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {u} }F+b{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }F$

der a og b er konstanter. Den retningsderivert er derfor lineær i vektoren som angir retningen til derivasjonen. Det betyr igjen at for tangentvektoren $\mathbf {v} =v^{k}\mathbf {e} _{k}$ kan man skrive

${\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }F=v^{k}{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {e} _{k}}F=v^{k}{\partial F \over \partial x^{k}}$

Derfor er den deriverte i en av koordinatretningene $\mathbf {e} _{k}$ gitt ved

${\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {e} _{k}}F=\mathbf {e} _{k}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}F=\nabla _{k}F={\partial F \over \partial x^{k}}$

som er den vanlige partiellderiverte i denne retningen.

Derivasjonsoperatorer

Denne direkte sammenhengen mellom den deriverte i en bestemt retning og vektoren som bestemmer denne, gjør det mulig å identifisere vektoren med en ekvivalent derivasjonsoperator. Det kan tydeliggjøres ved å innføre notasjonen

$\mathbf {v} _{\mathbf {x} }F={\mathbf {v} }\cdot {\boldsymbol {\nabla }}F(\mathbf {x} )=v^{k}{\partial F \over \partial x^{k}}(\mathbf {x} )$

for den retningsderiverte. I et vilkårlig punkt kan dermed vektoren betraktes som operatoren

$\mathbf {v} =v^{k}{\partial \over \partial x^{k}}$

Dens virkning på en funksjon F i et vilkårlig punkt skrives da som v F. De karakteristiske egenskapene ved den retningsderiverte forblir de samme. For eksempel er v(FG) = (v F)G + F(v G) som følger direkte fra den vanlige produktregelen for derivasjon. Dette kommer også naturlig frem når man betrakter vektorer som tangenter til kurver lagt inn i mangfoldigheten.

Egenskapene til den tidligere gradienten vil på dette vis være en direkte konsekvens av at basisvektorene er derivasjonsoperatorer

$\mathbf {e} _{k}={\partial \over \partial x^{k}}=\partial _{k}$,

Når de er definert på denne måten, vil den duale basisen $\mathbf {e} ^{k}$ være gitt ved differensialformer slik at $\mathbf {e} ^{k}=\mathbf {d} x^{k}$. Moderne differensialgeometri er formulert på denne måten.

Se også

• Lie-derivert