Lineær uavhengighet

I lineær algebra er en mengde vektorer lineært uavhengige dersom ingen av vektorene kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av de andre, det vil si som en endelig vektet sum av de andre vektorene. En mengde vektorer er lineært avhengige dersom de ikke er lineært uavhengige. Begreper som dimensjon, basis og matriserang er alle nært knyttet til definisjonen av lineær uavhengighet.

I det tredimensjonale euklidske vektorrommet R³ vil fire vektorer alltid være lineært avhengige. De tre basisvektorene e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0) og e₃ = (0,0,1) er lineært uavhengige.

Definisjon

En endelig mengde vektorer {v₁, v₂,...v_n} i et vektorrom V er lineært uavhengige dersom ligningen

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=0\,$

medfører at alle koeffisientene a_i, i = 1, ..., n er lik null. Ellers er vektorene lineært avhengige.

Utspenning, basis og dimensjon

Den lineære utspenningen av en endelig mengde vektorer S = {v₁,v₂,...v_n} er definert som mengden av alle lineærkombinasjoner av vektorene. Vektoren u vil være lineært avhengig med vektorene i S hvis og bare hvis u er inneholdt i utspenningen til S. Det eksisterer da koeffisienter b_i slik at

$\mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}b_{i}\mathbf {v} _{i}\,$

Den lineære utspenningen vil være et endelig-dimensjonalt underrom. Dersom vektorene v_i er lineært uavhengige, så utgjør disse en algebraisk basis for underrommet. Dimensjonen til underrommet er lik antall vektorer i S, det vil si n.

Litteratur

• Fr. Fabricius-Bjerre (1977). Lærebog i geometri. Del 1: Analytisk geometri. Lineær algebra. Lyngby,: Polyteknisk forlag. ISBN 978-8-7502-0439-8. 

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.