Lineærkombinasjon

En lineærkombinasjon er i matematikk en endelig sum av ledd der hvert ledd er lik en konstant koeffisient multiplisert med en vektor. Uttrykket (3u + v - 2w) vil for eksempel være en lineærkombinasjon av de tre vektorene u, v og w. Lineærkombinasjoner er svært viktige i fagfeltet lineær algebra.

Formell definisjon

La V være et vektorrom med en tilhørende kropp K av skalarer. Dersom v₁,...,v_n er vektorer i V og a₁,...,a_n er skalarer i K, så er en lineærkombinasjon i V et uttrykk på formen

$a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}.\,$

Fra definisjonen av et vektorrom følger det at lineærkombinasjonen er inneholdt i vektorrommet.

Det eksisterer en viss tvetydighet i om begrepet lineærkombinasjon refererer til sum-uttrykket eller til resultatet av summasjonen. Vanligvis vil bruken referere til resultatet, slik som i utsagnet Alle lineærkombinasjoner av u, v og w utgjør et underrom. I visse tilfeller kan en også referere til formen på uttrykket, som i formuleringen Vektoren u kan uttrykkes med to ulike lineærkombinasjoner.

Lineær utspenning

Den lineære utspenningen av en mengde vektorer S = {v₁,...,v_n } i vektorrommet V er definert som mengden av alle lineærkombinasjoner av vektorene i mengden. Adjektivet «lineær» er ofte underforstått, slik at en bare bruker begrepet «utspenning» alene. Den lineære utspenningen er et underrom i V.

Som notasjon for utspenningen til mengden S brukes både span S, sp S og [S].

Et endelig-dimensjonalt vektorrom V er selv utspent av en mengde av basisvektorer i rommet. Det vil si at alle vektorer i V kan skrives som en lineærkombinasjon av basisvektorer.

Eksempler

Koordinatvektorer

La V være det euklidske vektorrommet R³, definert over mengden av reelle tall. Som basisvektorer for dette rommet kan en velge e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0) og e₃ = (0,0,1). En vilkårlig vektor i R³ kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av disse basisvektorene. Som eksempel kan vektoren (3,-1,2) skrives som lineærkombinasjonen (3e₁ - e₂ + 2e₃).

Funksjoner

La V være vektorrommet av alle relle kontinuerlige funksjoner. De to funksjonen f(x) = sin x og g(x) = cos x er begge elementer i dette vektorrommet. Den tredje funksjonen h(x) = sin (x + π) + sin(x + π/2) er en lineærkombinasjon av funksjonen f og g, noe som følger av kjente trigonometriske identiteter:

$h(x)=\sin(x+\pi )+\sin(x+{\frac {\pi }{2}})=-\sin x+\cos x=-f(x)+g(x)$

Den konstante funksjonen j(x) = 3 er derimot ikke en lineærkombinasjon av f og g.

Spesialtilfeller av lineærkombinasjoner

Ved å legge ytterlige føringer på koeffisientene i lineærkombinasjonene kan en definere spesialtilfeller eller undermengder av lineærkombinasjonene. I en affin lineærkombinasjon er summen av alle koeffisientene a_i lik 1. I en konveks lineærkombinasjon er alle koeffisientene ikke-negative.

Litteratur

• Fr. Fabricius-Bjerre (1977). Lærebog i geometri. Del 1: Analytisk geometri. Lineær algebra. Lyngby,: Polyteknisk forlag. ISBN 978-8-7502-0439-8. 

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 

Eksterne lenker

• Lineær algebra, støttesider for studenter ved Universitetet i Oslo.