Thomson-spredning

Thomson-spredning er en prosess hvor elektromagnetisk stråling blir spredt av en ladet partikkel. Vanligvis er denne et elektron. Den er beskrevet ved et spredningstverrsnitt som først ble beregnet av den engelske fysiker J.J. Thomson i 1903. I årene deretter spilte prosessen en viktig rolle i utforskningen av materiens struktur og har fremdeles mange anvendelser. I de siste årene har den fått ny betydning i forståelsen av temperaturfluktuasjoner i den kosmiske bakgrunnsstrålingen.

Et innkommende foton med lav energi eller lys blir spredt på en ladet partikkel.

Thomson gjorde sin beregning basert på bruk av klassisk fysikk, men resultatet er også i overensstemmelse med kvantemekanikken så lenge strålingens energi er tilstrekkelig lav. Da er prosessen identisk med Compton-spredning. Ved høyere energier må spredningstverrsnittet til Thomson beregnes ved bruk av kvanteelektrodynamikk og er gitt ved Klein-Nishinas formel.

Beregning av spredningstverrsnitt rediger

Thomson baserte sin beregning på en kjent formel fra 1897 utledet av hans kollega Joseph Larmor.^[1] Den gir utstrålt energi i form av elektromagnetisk stråling fra en akselerert ladning når den har en ikke-relativistisk bevegelse. Dette er en sentral del av klassisk elektrodynamikk som bygger på Maxwells ligninger.

Man betrakter en elektrisk ladning e som beveger seg med en akselerasjon a. Den vil da gi opphav til elektriske og magnetiske felt som stråles ut som sfæriske bølger. Intensiteten dP av strålingen innen en liten romvinkel dΩ i en retning gitt ved enhetsvektoren n, er da gitt ved formelen

{dP \over d\Omega }={e^{2} \over 16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}}(\mathbf {n} \times \mathbf {a} )^{2}

hvor c er lyshastigheten og 1/4πε₀ er Coulomb-konstanten. Ved bruk av kulekoordinater kan stråleretningen n angis ved vinklene (θ, φ) slik at romvinkelelementet dΩ = sinθdθdφ. Dette er resultatet til Larmor.^[2]

Når partikkelen spreder en innkommende, elektromagnetisk bølge med vinkelfrekvens ω, skyldes akselerasjonen a til partikkelen at det elektriske feltet E = E₀ cosωt i bølgen utøver en kraft F = e E på den og dermed setter den i bevegelse. Fra Newtons andre lov følger da at akselerasjonen er a = F/m når partikkelen har massen m. Kraften er parallell til vektoren E₀ som beskriver polarisasjonen til den innkommende bølgen.

Differensielt spredningstverrsnitt rediger

Thomson-spredning for innkommende strålingen som er polarisert i planet og observert i retning χ = 180° - θ.

Størrelsen av vektorproduktet n×a er a sinα hvor α er vinkelen mellom n og a. Men akselerasjonen a er proporsjonal med vektoren E₀ som angir polarisasjonen til den innkommende bølgen. Denne er alltid vinkelrett til retningen til den innkommende strålingen. Intensiteten til den spredte strålingen er derfor proporsjonal med sin²α og er avhengig av polarisasjonen til den innkommende strålingen.

Intensiteten til den innkommende strålingen er gitt ved Poyntings vektor og har i dette tilfellet en størrelse J = cε₀E₀²/2. Dette er den midlere verdien av oscillasjonene i feltet. Da kan faktoren cos²ωt som svinger mellom 0 og 1, erstattes med middelverdien 1/2.

Det differensielle spredningstverrsnittet er definert ved forholdet dσ/dΩ = (1/J)dP/dΩ mellom utstrålt energi og intensiteten til den innkommende bølgen. For Thomson-spredning kan dette derfor skrives som

{d\sigma  \over d\Omega }=r_{0}^{2}\sin ^{2}\!\alpha

hvor det er hensiktsmessig å ha innført r₀ = e²/4πε₀mc². Er den spredende partikkel et elektron, er dette den klassiske elektronradius. Dette spredningstverrsnittet avhenger eksplisitt av vinkelen α som skyldes at det er utledet for en fiksert polarisasjon av den innkommende strålingen.^[3]

Polarisasjon rediger

Det magnetiske feltet til den spredte bølgen har en retning som er gitt ved produktet n×a. Denne har en polarisasjon som er gitt ved det elektriske feltet. Da dette er vinkelrett både til magnetfeltet og retningen n, vil polarisasjonen til den spredte bølgen ligge i samme plan som den innkommende bølgen.

I mange sammenhenger er det praktisk å angi polarisasjonen til både innkommende og utgående bølge i forhold til «spredningsplanet» definert ved retningene til disse to bølgene. Man kan da angi den som en retning liggende i dette planet eller vinkelrett på det.

Sjematisk illustrasjon av en elektromagnetisk bølge som spredes mot en ladet partikkel og fortsetter i retning θ. Polarisasjon normalt til planet er indikert med røde prikker og med røde linjer når den er i planet.

Når den innkommende bølgen er polarisert vinkelrett på spredningsplanet, vil vinkelen α = 90°. Da er sinα = 1 og den spredte bølgen kommer ut med maksimal intensitet og polarisert normalt på dette planet. Men for det tilfellet at den innkommende bølgen er polarisert i planet, vil den utgående bølgen forbli polarisert i samme plan, men med en intensitet som er redusert med faktoren sin²α. Da spredningsvinkelen θ = 90° - α, er denne faktoren også lik med cos²θ.

Når den innkommende strålingen er upolarisert, kan den beskrives som bestående av like mye stråling polarisert i begge disse to retningen. Det midlere, differensiell spredningstverrsnittet er derfor

{d\sigma  \over d\Omega }={1 \over 2}{\Big (}1+\cos ^{2}\theta {\Big )}r_{0}^{2}

Det er størst for spredning fremover θ = 0° som bakover θ = 180°. Dette er også de to retningene hvor polarisasjonen er lik med null da den spredte intensiteten er like stor for begge polarisasjonsretninger.^[3]

Derimot er strålingen som er spredt vinkelrett på innfallsretningen, det vil si θ = 90°, maksimalt polarisert med en retning vinkelrett på spredningsplanet. Det skyldes at den komponenten som er polarisert i dette planet, ikke vil spredes i denne retningen. I mellomliggende retninger har man også en polarisasjon, men tilsvarende mindre.

Totalt spredningstversnitt rediger

Det totale spredningstverrsnittet sier hvor mye den innkommende strålingen blir redusert på grunn av koblingen til den ladede partikkelen. Da spredningen er symmetrisk om den innkommende retningen, kan den differensiell romvinkelen forenkles til dΩ = 2π sinθdθ slik at det blir

{\begin{aligned}\sigma &=\pi r_{0}^{2}\int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta {\Big (}1+\cos ^{2}\theta {\Big )}={8\pi  \over 3}r_{0}^{2}\\&=0.6652\times 10^{-24}\;\mathrm {cm} ^{2}\end{aligned}}

hvor den numeriske verdien er angitt for spredning på et elektron. Det er av størrelsesorden 10^-24 cm² som er et karakteristisk spredningstverrsnitt i kjernefysikk og lavenergetisk elementærpartikkelfysikk. Derfor har denne størrelsen fått sitt eget navn og blir kalt for 1 barn.^[4]

Compton-spredning rediger

Beskrives den elektromagnetiske strålingen som bestående av fotoner med en viss frekvens ν, kan det samme resultatet beregnes ved bruk av kvanteelektrodynamikk. Hvert foton har da energien E = ħω hvor ħ er den reduserte Planck-konstanten. I en kollisjon med et elektron som ligger i ro, vil det ved tilstrekkelig høy energi miste noe av denne ved at elektronet blir slått til side. Dermed blir energien til det spredte fotonet E' = ħω' noe mindre enn det var før kollisjonen. Dette er Compton-effekten og opptrer når fotonenergien E > mc².

På denne måten blir beregningen av det tilsvarende tverrsnittet for slik Compton-spredning mer komplisert. Resultatet er gitt ved Klein-Nishinas formel og avhenger eksplisitt av Plancks konstant. Dette spredningstverrsnittet varierer også med energien til den innkommende energien i motsetning til Thomson-tverrsnittet. Det viser at prosessen er kvantemekanisk av natur, noe som allerede er implisitt når elektromagnetisk stråling blir beskrevet som en strøm av fotoner.^[3]

Ved så lave frekvenser i den innkommende stålingen at ħω < mc², faller Plancks konstant ut av formelen til Klein-Nishina. Den tar dermed samme form som Thomson-tverrsnittet som også er uavhengig av energien. Den klassiske beregningen som kan føres tilbake til Larmors formel, er derfor i overensstemmelse med kvantefeltteori ved lave energier. Dette viser igjen at klassiske teorier ikke er feil, men at de bare har begrenset gyldighet.^[5]

Eksperiment rediger

Resultatet for spredningstverrsnittet som Thomson hadde beregnet, ble først benyttet allerede i 1905 av den engelske fysiker Charles Barkla. Han gjorde eksperimentelle undersøkelser av egenskapene til røntgenstråling som man på den tiden ennå ikke hadde noen forklaring på. Ved å måle polarisasjonen av strålingen i et spredningseksperiment, fant han overensstemmelse med hva som følger fra Thomsons utledning.^[6] Dette bidro sterkt til å vise at røntgenstråling består av elektromagnetiske bølger.

Året etterpå kunne Barkla påvise i et tilsvarende eksperiment at den spredte intensiteten i retning θ = 90° vinkelrett på den innkommende strålen, bare er halvparten av hva den er i retning θ = 0° fremover. Denne observasjonen styrket ytterligere konklusjonen at røntgenstrålingen er av elektromagnetisk natur og troverdighet til Thomsons formel for spredningstverrsnittet.^[7]

I nyere tid har Thomson-spredning forblitt et viktig kontaktpunkt mellom klassisk fysikk og kvantefysikk.^[4] Mens prosessen tidligere hovedsakelig var av interesse innen kjernefysikk og elementærpartikkelfysikk, ble det også snart klart at den spiller en viktig rolle i astrofysikken i samspillet mellom elektromagnetisk stråling og ladede partikler.^[8] Til og med innen moderne kosmologi er denne spredningsprosessen viktig i det den forklarer polariseringen som er observert i den kosmiske bakgrunnsstrålingen. Den skyldes spredning av lavenergetiske fotoner på elektroner like etter Big Bang som gir den spredte strålingen en polarisering som den siden har tatt med seg frem til at den blir observert i dag.^[9]

Referanser rediger

^ J. J. Thomson, Philosophical Magazine 5, 268-270 (1903).
^ J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.
^ ^a ^b ^c F.K. Richtmyer and E.H. Kennard, Introduction to Modern Physics, McGraw-Hill Book Company, New York (1947).
^ ^a ^b S. Gasiorowicz, The Structure of Matter, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1979). ISBN 0-201-02511-6.
^ G. Holton and S.G. Brush, Physics, the Human Adventure, Rutgers University Press, New Brunswick, New Jersey (2006). ISBN 0-8135-2908-5.
^ C. G. Barkla, Polarisation in Röntgen rays, Nature 69, 463 (1904); Polarized Röntgen Radiation, Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A204, 467 (1905); Polarization in Secondary Röntgen Radiation, Proc. Roy. Soc. (London) A77, 247-255 (1906).
^ C. G. Barkla, The Nature of X-Rays, Nature 76, 661–662 (1907).
^ B.W. Carroll and D.A. Ostlie, An Introduction to Modern Astrophysics, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1996). ISBN 0-321-21030-1.
^ M. Roos, Introduction to Cosmology, John Wiley & Sons, New York (2003). ISBN 0- 470-84910-X.

Eksterne lenker rediger

NRAO, Thomsons forenklede utledning av Larmors formel. Arkivert 7. april 2014 hos Wayback Machine.
R. Fitzpatrick, UT Austin, Thomson-spredning

[1] J. J. Thomson, Philosophical Magazine 5, 268-270 (1903).

[2] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.

[RK-3] F.K. Richtmyer and E.H. Kennard, Introduction to Modern Physics, McGraw-Hill Book Company, New York (1947).

[Gasio-4] S. Gasiorowicz, The Structure of Matter, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1979). ISBN 0-201-02511-6.

[HB-5] G. Holton and S.G. Brush, Physics, the Human Adventure, Rutgers University Press, New Brunswick, New Jersey (2006). ISBN 0-8135-2908-5.

[6] C. G. Barkla, Polarisation in Röntgen rays, Nature 69, 463 (1904); Polarized Röntgen Radiation, Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A204, 467 (1905); Polarization in Secondary Röntgen Radiation, Proc. Roy. Soc. (London) A77, 247-255 (1906).

[7] C. G. Barkla, The Nature of X-Rays, Nature 76, 661–662 (1907).

[CO-8] B.W. Carroll and D.A. Ostlie, An Introduction to Modern Astrophysics, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1996). ISBN 0-321-21030-1.

[Roos-9] M. Roos, Introduction to Cosmology, John Wiley & Sons, New York (2003). ISBN 0- 470-84910-X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]