Tales’ teorem

Tales’ teorem, også kalt halvsirkelteoremet, er en grunnleggende setning i euklidsk plangeometri. Setningen sier at når en trekant er innskrevet i en sirkel med en side som diameter, så vil trekanten være rettvinklet. Teoremet er et spesialtilfelle av en setning om størrelsen til en periferivinkel og har mange anvendelser i geometri og trigonometri.

Halvsirkelteoremet sier at vinkelen i B er en rett vinkel.

Ifølge tradisjonen er teoremet knyttet til Tales fra Milet, men også til Pytagoras. Tilnavnet «Tales’ teorem» er også brukt om andre teorem i geometri, primært om transversalteoremet for formlike trekanter.

Historie

Historien om opphavet til teoremet og Tales rolle i denne historien er omdiskutert. Ingenting er bevart av skriftlig materiale etter Tales fra Milet, som levde i den greske bystaten Milet i det sjette århundre før Kristus. Kildene som omtaler Tales er også svært usikre. En viktig kilde er Proklos sitt sammendrag av Evdemos’ Geometriens historie, men dette sammendraget nevner ikke halvsirkelteoremet. En annen viktig kilde er Diogenes Laertios, og han siterer Pamfilia, som gir Tales æren for å ha oppdaget setningen. Etter oppdagelsen skal Tales ha ofret en okse.

Hos Euklids Elementer er setningen gjengitt i tredje bok, i avsnitt 31. Euklid gir ingen historisk bakgrunn for noen av de geometriske resultatene han presenterer.

Carl B. Boyer mener at setningen var kjent i babylonsk matematikk, kanskje over tusen år før Tales levde. Tales kan dermed ha fått kunnskap om teoremet fra Babylonia.

Thomas Heath argumenterer for at Tales sannsynligvis ikke har kjent til resultatet, og at historien om okseofferet må skyldes en forveksling. En historie om et okseoffer er også fortalt om Pytagoras, og flere kilder gir Pytagoras æren for halvsirkelteoremet. Dersom Tales kjente til resultatet for en rettvinklet trekant, er det svært nærliggende at han også skulle ha funnet setningen om at vinkelsummen i en trekant er to rette vinkler. Oppdagelsen om vinkelsummen i en trekant er imidlertid tillagt pytagoreerne. Tales kunne dermed heller ikke ha brukt vinkelsummen i et bevis for setningen. Heath drøfter likevel muligheten for at Tales har brukt et bevis som ikke bygger på vinkelsummen i en trekant.

Trass motforestillinger er tilnavnet «Tales’ teorem» brukt i ettertid om resultatet for den rette vinkelen. Tilnavnet er en relativt ny konstruksjon, og første kjente forekomst er fra en fransk lærebok fra 1882, da knyttet til transversalteoremet. Historiske referanser ble på slutten av 1800-tallet vanlig brukt i lærebøker. I tyske lærebøker ble navnet «Tales’ teorem» knyttet til vinkelen i en halvsirkel, med første kjente forekomst i 1894. En nyere tolkning er at lærebokforfattere brukte den historisk tilknytningen for å gi teoremene ekstra tyngde. Dette er omtalt som «didaktisk rekonstruksjon» av historien, utført for å tjene læringsformål og ikke for historisk nøyaktighet.

Periferivinkelteoremet

En periferivinkel og en sentralvinkel over samme sirkelbue.

Halvsirkelteoremet er et spesialtilfelle av et teorem for en periferivinkel. Dette er en vinkel med toppunkt på en sirkelbue og der vinkelbeina spenner over en del av sirkelen. En vinkel med toppunkt i sentrum av sirkelen er en sentralvinkel. Teoremet for periferivinkelen sier at størrelsen til vinkelen er lik halvparten av størrelsen til sentralvinkelen som spenner over samme sirkelbue:

«Gitt tre punkt P, A og B på en sirkel med sentrum i O. Da er vinkelen $\angle$APB lik halvparten av vinkelen $\angle$AOB.»

En halvsirkel svarer til 180°, og en vinkel som spenner over denne er derfor rett.

Teoremet og relaterte resultater

Teoremet om vinkelen i en halvsirkel kan også formuleres slik:

• Det geometriske sted for toppunktet i en rett vinkel med vinkelbein gjennom to punkt, er en sirkel som har diameter mellom de to punktene. Enkelte lærebøker kaller denne sirkelen for «talessirkelen».
• En periferivinkel over en halvsirkel er en rett vinkel.

I en trekant ABC der AB er diameter i en sirkel, men C ligger utenfor sirkelen, vil vinkelen $\angle$ACB være spiss, det vil si mindre enn 90°. Tilsvarende er vinkelen stump dersom C ligger inne i sirkelen.

Bevis

Det finnes flere alternative bevis for dette teoremet.

Bevis 1

Likebeinte trekanter AOB og COB med vinkler α og β i trekanten ABC.

I figuren til høyre er trekanten ABC innskrevet i en sirkel med sentrum i punktet O, slik at trekantsiden AC er en diameter. Punktet O må dermed ligge på linjestykket AC. Trekkes radien OB i sirkelen, så vil trekanten AOB være likebeint, da to av sidene er radier. Vinklene $\angle$OAB og $\angle$ABO må derfor være like. Tilsvarende vil trekanten COB være likebeint, med to like vinkler. Da summen av vinklene i trekanten ABC er 180°, vil

$\alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }.$

Dette for vinkelen i hjørnet B at α + β = 90°.

Bevis 2

Teoremet kan også vises med analytisk geometri og trigonometri. La $O=(0,0)$, $A=(-1,0)$ og $C=(1,0)$. Punktet $B$ ligger da på enhetssirkelen, med koordinater $(\cos \theta ,\sin \theta )$. Stigningstallet til linjestykket $AB$ er gitt ved

$m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\ .$

Tilsvarende gjelder for linjestykket $BC$:

$m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\ .$

Disse to linjestykkene står normalt på hverandre, som kan vises ved å vise at produktet av stigningstallene er lik -1:

${\begin{aligned}m_{AB}\cdot m_{BC}&={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\[8pt]&={\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\[8pt]&={\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\[8pt]&=-1\end{aligned}}$

Her er brukt den trigonometriske identiteten $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$.

Bevis 3

Bevis ved rotasjon av trekanten

Det følgende beviset skal være laget av en elev i sjuendeklasse. La ABC være en trekant innskrevet i en sirkel med sentrum i O og med AB som diameter. Lag en ny trekant ABD ved å rotere den opprinnelige trekanten 180°. Den valgte rotasjonen gjør at punktet D ligger på sirkelen. I tillegg er linjestykkene AD og BC parallelle, og det samme gjelder AC og BD. Firkanten ACBD er dermed et parallellogram. Diagonalene AB og CD i parallellogrammet er like lange, siden de begge er diametre i sirkelen. Dette gjør at parallellogrammet må være et rektangel, og vinkelen $\angle$ACB er rett.

Anvendelser

Halvsirkelteoremet brukes ofte i konstruksjoner og bevis i plangeometri. De følgende avsnittene viser noen enkle anvendelser.

Likebeint rettvinklet trekant

Gitt et linjestykke AB. Konstruer en likebeint rettvinklet trekant med AB som grunnlinje.

Løsningen er å konstruere en midtnormal til linjestykket AB. Midtnormalen deler linjestykket i et punkt O. Tegn en halvsirkel med sentrum i O og med radius lik lengden av linjestykket OA. Skjæringspunktet C mellom halvsirkelen og midtnormalen er toppunktet i den søkte trekanten. Halvsirkelteoremet gir at vinkelen $\angle$ACB er rett, og symmetrien gir at linjestykkene AC og BC er like lange.

Tangenten til en sirkel

Konstruksjon av tangenten til en sirkel.

Gitt en sirkel med sentrum i O og et punkt P som ligger utenfor sirkelen. Konstruer en tangent fra P til sirkelen.

Løsningen er å trekke linjestykke OP og deretter konstruere midtnormalen til dette linjestykket. Midtnormalen deler OP i punktet H. Slå så en sirkel med sentrum i H og med radius lik lengden av linjestykket HO. Denne sirkelen skjærer sirkelen om O i to punkt T og T´. Både PT og PT´ er tangenter til sirkelen gjennom P.

Litteratur

• Thomas Heath (1981). A history of Greek mathematics. I. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8. 
• Carl B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. 

Eksterne lenker

• «Thales' Theorems». Cut the Knot. Besøkt 26. mars 2021.